6.1.10. Распределение Коши.

Этот закон весьма специфичен, поскольку ни один из его моментов положительного порядка (в том числе даже среднее значение) не существует. Распределение Коши унимодально, симметрично относительно своего модального значения (которое, следовательно, одновременно является медианой) и задается функцией плотности вероятности

где параметр масштаба и а — параметр центра группирования, определяющий одновременно значение моды и медианы.

Соответственно функция распределения задается соотношением

Отметим два важных свойства («самовоспроизводимости») распределения Коши (см., например, [48, с. 2731):

1. Если случайная величина имеет распределение Коши с параметрами с и а, то любая линейная функция имеет распределение того же типа с параметрами

2. Если случайные величины независимы и имеют одно и то же распределение Коши, то среднее арифметическое имеет то же самое распределение, что и каждое