Глава 9. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ (статистические критерии)

На разных стадиях статистического исследования возникает необходимость в формулировке и экспериментальной проверке некоторых предположительных утверждений (гипотез) относительно природы или величины неизвестных параметров рассматриваемой стохастической схемы. Например, исследователь высказывает предположение: «исследуемые наблюдения извлечены из смеси двух нормальных генеральных совокупностей» или «вектор средних значений исследуемых наблюдений равен «нулевому» вектору и т. д. Будем обозначать в дальнейшем высказанное нами предположение (гипотезу) с помощью буквы Я. Наша цель — проверить, не противоречит ли высказанная нами гипотеза Н имеющимся выборочным данным.

Процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы с имеющимися в нашем распоряжении выборочными данными осуществляется с помощью того или иного статистического критерия и называется статистической проверкой гипотез.

Результат подобного сопоставления может быть либо отрицательным (данные наблюдения противоречат высказанной гипотезе, а потому от этой гипотезы следует отказаться), либо неотрицательным (данные наблюдения не противоречат высказанной гипотезе, а потому ее можно принять в качестве одного из естественных и допустимых решений). При этом неотрицательный результат статистической проверки гипотезы не означает, что высказанное нами предположительное утверждение является наилучшим, единственно подходящим: просто она не противоречит имеющимся у нас выборочным данным, однако таким же свойством могут наряду с Н обладать и другие гипотезы. Так что даже статистически проверенное предположение Н следует расценивать не как раз и навсегда установленный, абсолютно верный факт, а лишь как достаточно правдоподобное, не противоречащее опыту утверждение.

По своему прикладному содержанию высказываемые в ходе статистической обработки данных гипотезы можно подразделить на несколько основных типов.

9.1. Основные типы гипотез, проверяемых в ходе статистической обработки данных

9.1.1. Гипотезы о типе закона распределения исследуемой случайной величины.

При обработке ряда наблюдений

исследуемой случайной величины очень важно понять механизм формирования выборочных значений т. е. подобрать и обосновать некоторую модельную функцию распределения (например, из числа описанных в гл. 6), с помощью которой можно адекватно описать исследуемую функцию распределения . На определенной стадии исследования это приводит к необходимости проверки гипотез типа

где гипотетичная модельная функция может быть как заданной однозначно (тогда ), где — полностью известная функция), так и заданной с точностью до принадлежности к некоторому параметрическому семейству , где — некоторый, вообще говоря, -мерный параметр, значения которого неизвестны,

но могут быть оценены по выборке (9.1) с помощью методов, изложенных в § 8.6).

Проверка гипотез типа (9.2) осуществляется с помощью так называемых критериев согласия и опирается на ту или иную меру различия между анализируемой эмпирической функцией распределения и гипотетическим модельным законом (см. § 11.1).