Глава 9. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ (статистические критерии)
На разных стадиях статистического исследования возникает необходимость в формулировке и экспериментальной проверке некоторых предположительных утверждений (гипотез) относительно природы или величины неизвестных параметров рассматриваемой стохастической схемы. Например, исследователь высказывает предположение: «исследуемые наблюдения извлечены из смеси двух нормальных генеральных совокупностей» или «вектор средних значений
исследуемых наблюдений равен «нулевому» вектору
и т. д. Будем обозначать в дальнейшем высказанное нами предположение (гипотезу) с помощью буквы Я. Наша цель — проверить, не противоречит ли высказанная нами гипотеза Н имеющимся выборочным данным.
Процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы с имеющимися в нашем распоряжении выборочными данными
осуществляется с помощью того или иного статистического критерия и называется статистической проверкой гипотез.
Результат подобного сопоставления может быть либо отрицательным (данные наблюдения противоречат высказанной гипотезе, а потому от этой гипотезы следует отказаться), либо неотрицательным (данные наблюдения не противоречат высказанной гипотезе, а потому ее можно принять в качестве одного из естественных и допустимых решений). При этом неотрицательный результат статистической проверки гипотезы не означает, что высказанное нами предположительное утверждение является наилучшим, единственно подходящим: просто она не противоречит имеющимся у нас выборочным данным, однако таким же свойством могут наряду с Н обладать и другие гипотезы. Так что даже статистически проверенное предположение Н следует расценивать не как раз и навсегда установленный, абсолютно верный факт, а лишь как достаточно правдоподобное, не противоречащее опыту утверждение.
По своему прикладному содержанию высказываемые в ходе статистической обработки данных гипотезы можно подразделить на несколько основных типов.
9.1. Основные типы гипотез, проверяемых в ходе статистической обработки данных
9.1.1. Гипотезы о типе закона распределения исследуемой случайной величины.
При обработке ряда наблюдений
исследуемой случайной величины
очень важно понять механизм формирования выборочных значений
т. е. подобрать и обосновать некоторую модельную функцию распределения
(например, из числа описанных в гл. 6), с помощью которой можно адекватно описать исследуемую функцию распределения
. На определенной стадии исследования это приводит к необходимости проверки гипотез типа
где гипотетичная модельная функция может быть как заданной однозначно (тогда
), где
— полностью известная функция), так и заданной с точностью до принадлежности к некоторому параметрическому семейству
, где
— некоторый, вообще говоря,
-мерный параметр, значения которого неизвестны,
но могут быть оценены по выборке (9.1) с помощью методов, изложенных в § 8.6).
Проверка гипотез типа (9.2) осуществляется с помощью так называемых критериев согласия и опирается на ту или иную меру различия между анализируемой эмпирической функцией распределения
и гипотетическим модельным законом
(см. § 11.1).