Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
и задается соотношением
Условимся называть нормальный закон с параметрами
стандартным, а его функции плотности и распределения обозначать соответственно
Во многих случайных величинах, изучаемых в экономике, технике, медицине, биологии и в других областях, естественно видеть суммарный аддитивный эффект большого числа независимых причин. Но центральное место нормального закона не следует объяснять его универсальной приложимостью, как это было принято долгое время (по-видимому, под влиянием блестящих работ К. Гаусса и П. Лапласса) В этом смысле нормальный закон — это один из многих типов распределения, имеющихся в природе, правда, с относительно большим удельным весом практической приложимости. И потому нам понятна ирония, звучащая в известном высказывании Липмана (цитируемом А. Пуанкаре в своем труде «Исчисление вероятностей», Париж, 1912 г.): «Каждый уверен в справедливости нормального закона: экспериментаторы — потому, что они думают, что это математическая теорема; математики — потому, что они думают, что это экспериментальный факт». Однако не следует упускать из виду, что полнота теоретических исследований, относящихся к нормальному закону, а также сравнительно простые математические свойства делают его наиболее привлекательным и удобным в применении. Даже в случае отклонения исследуемых экспериментальных данных от нормального закона существует по крайней мере два пути его целесообразной эксплуатации: а) использовать его в качестве первого приближения; при этом нередко оказывается, что подобное допущение дает достаточно точные с точки зрения конкретных целей исследования результаты; б) подобрать такое преобразование исследуемой случайной величины
, которое видоизменяет исходный «не нормальный» закон распределения, превращая его в нормальный. Удобным для статистических приложений является и свойство «самовоспроизводимости» нормального закона, заключающееся в том, что сумма любого числа нормально распределенных случайных величин тоже подчиняется нормальному закону распределения. Кроме того, закон нормального
распределения имеет большое теоретическое значение: с его помощью выведен целый ряд других важных распределений, построены различные статистические критерии и т. п.
и
-распределения и опирающиеся на них критерии, см. п. 6.2.1-6.2.3, а также гл. 11).
Графики нормальных плотностей приведены на рис. 5.5, 5.6, 5.10 и 5.11.
Основные числовые характеристики нормального закона:
Двумерный нормальный закон описывает совместное распределение двумерной случайной величины
с непрерывными компонентами и
механизм формирования значений которых тот же, что и в одномерном случае, причем множества случайных факторов, под воздёйствием которых формируются значения и
вообще говоря, пересекаются (отсюда возможная зависимость
)
Введем в рассмотрение основные числовые характеристики двумерной случайной величины
Совместная двумерная плотность
нормального закона может быть записана в виде
или в виде
где
верхний индекс «штрих» означает транспонирование матрицы или вектора,
— определитель ковариационной матрицы, а
— матрица, обратная к ковариационной. Изображение поверхности плотности двумерного нормального закона приведено на рис. 5.7.
Частные плотности
могут быть получены из совместной по формуле (5.15):
Эти формулы означают, что частные законы распределения компонент двумерного нормального закона сами являются одномерными нормальными законами с параметрами соответственно
Условные плотности
получаются с использованием общих Формул (5.16) и (5.16):
Отсюда следует в частности, что условное распределение компоненты
при фиксированном значении другой компоненты
снова описывается нормальным
законом, параметр среднего значения которого, как и следовало ожидать, зависит от фиксированного значения
и дисперсия которого не зависит от
и равна
Многомерный нормальный закон описывает совместное распределение
-мерной случайной величины
с непрерывными компонентами
механизм формирования значений каждой из которых тот же, что и в одномерном случае, причем множества случайных факторов, под воздействием которых формируются значения
вообще говоря, пересекаются (отсюда их возможная взаимозависимость). Задавшись
-мерным вектор-столбцом
средних значений компонент и
-матрицей ковариаций
(см. п. 5.6.7), можно выписать
-мерную совместную плотность многомерного нормального закона:
Здесь, как и прежде,
— вектор-столбец текущих переменных, а
— определитель ковариационной матрицы.
Вырожденность матрицы
(т. е. равенство нулю определителя
) делает соответствующее многомерное распределение вырожденным (или несобственным); это означает, в частности, что разброс значений исследуемого многомерного признака сосредоточен в подпространстве меньшей, чем
, размерности. За исключением некоторых специальных случаев мы всегда будем полагать, что нами уже осуществлен переход в это подпространство меньшей размерности, так что в наших рассуждениях предполагается