6.2.2. Распределение Стьюдента (t-распределение).
Анализируя случайные отклонения выборочной средней
![](/wp-content/uploads/img_page/1.gif)
от истинного среднего значения
![](/wp-content/uploads/img_page/2.gif)
исследуемой случайной величины
![](/wp-content/uploads/img_page/3.gif)
, английский статистик В. Госсет (писавший под псевдонимом «Стьюдент») получил в 1908 г. следующий результат. Пусть
![](/wp-content/uploads/img_page/4.gif)
— независимые
![](/wp-content/uploads/img_page/5.gif)
-нормально распределенные случайные величины. Тогда плотность распределения случайной величины
описывается функцией
Распределение (6.22) получило название распределения Стьюдента с
степенями свободы (или t-распределения). Из выражения (6.22) следует, что функция плотности
не зависит от дисперсии
случайных величин h и, кроме того, является унимодальной и симметричной относительно точки
Приведем несколько результатов, используемых при статистической обработке выборочных данных, извлеченных из нормальной генеральной совокупности.
1. Если
— выборка, извлеченная из нормальной генеральной совокупности с параметрами
— соответственно выборочная средняя и выборочная дисперсия, построенные по наблюдениям
данной выборки, то случайная величина
подчинена распределению Стьюдента с
степенями свободы. Этот результат используется при построении интервальных оценок для неизвестного значения параметра
а также при проверке статистической гипотезы о том, что данная выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности с заданным значением
(см. гл. 8 и 9).
2. Если к условиям и исходным данным предыдущего примера добавить вторую выборку
из той же самой генеральной совокупности (и вычисленные по ней выборочные среднее
) и дисперсию
то следующая нормированная мера расхождения двух выборочных средних
подчиняется распределению Стьюдента с
степенями свободы (общее среднее квадратическое отклонение
) в формуле (6.24) определяется соотношением
Этот результат используется при проверке однородности выборочных средних, вычисленных по двум различным выборкам, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей (см. п. 11.2.5).
Основные числовые характеристики t (
-распределения: