6.2.5. Г-распределение.

Описанные ниже два типа распределения представляют весьма широкие и гибкие двухпараметрические семейства законов, которые включают в себя в качестве частных случаев различные комбинации уже известных нам случайных величин. Основное прикладное значение Г- и В-распределений — в их богатых вычислительных возможностях: функции распределения и ряд других могут быть вычислены (после подходящего преобразования переменных) в терминах Г- или -распределений (см., например, [16]). Кроме того, -распределение

иногда используется и при реалистическом моделировании: с его помощью описывается, например, распределение доходов и сбережений населения в определенных специальных ситуациях (см. [2], [3]).

Двухпараметрический закон Г-распределения случайной величины описывается функцией плотности:

где -функция Эйлера, — параметр «формы» и — параметр масштаба. Легко понять, что Г-распре-деленная случайная величина с параметрами а и b (будем обозначать ее ) связана со случайной величиной простым соотношением (см. также § 7.4):

Отметим несколько полезных свойств Г-распределения.

1. Из вида функции плотности (-распределения (см. (6.18)) непосредственно следует, что оно является частным случаем Г-распределения: достаточно положить в

2. Сумма любого числа независимых Г-распределенных случайных величин (с одинаковым параметром масштаба b) также подчиняется Г-распределению, но с параметрами и b.

Основные числовые характеристики случайной величины

6.2.6. В-распределение. Как отмечалось выше, двухпараметрический закон В-распределения обладает весьма высокой гибкостью и общностью: в частности, через функцию В-распределения могут быть вычислены такие часто

используемые распределения, как биномиальное, отрицательное биномиальное и др. В-распределение используется и для описания некоторых реальных распределений, сосредоточенных на отрезке [0,1] (например, для описания распределения величин субъективных вероятностей, полученных в ходе экспертного опроса, см. п. 4.1.3). Случайная величина подчиняющаяся закону В-рас-пределения с параметрами имеет плотность вероятности

Отметим несколько полезных свойств В-распределения.

1. Если — две независимые Г-распределенные случайные величины, то отношение подчиняется закону В-распределения с параметрами

2. Случайная величина распределена равномерно на отрезке (см. п. 6.1.7).

3. Функция распределения квадрата стьюдентовской величины (см. п. 6.2.2) связана с функцией распределения случайной величины соотношением

4. Функция распределения случайной величины (см. п. 6.2.3) связана с функцией распределения случайной величины соотношением

5. Между функцией распределения случайной величины Р и распределениями биномиального типа (см. п. 6.1.1) существуют соотношения:

6. Непосредственный анализ плотности (6.29) обнаруживает симметричность плотностей относительно прямой рис. 6.5), что в терминах соответствующих функций распределения может быть записано в виде

(поэтому, в частности, при составлении таблиц В-распределения обычно ограничиваются случаем ).

Рис. 6.5. Графики функций плотности -распределения при различных значениях параметров

Основные числовые характеристики В-распределенной (с параметрами ) случайной величины