12.2.2. Распределение «хи-квадрат».
Распределение
возникает в задачах оценивания и проверки статистических гипотез (см. гл. 11).
Функция распределения
с v степенями свободы определяется выражением
где нормирующая константа
Если
, то
В общем случае основой для вычисления значений функции распределения (12.12) являются разложения в ряды. Приведем два разложения в бесконечные степенные ряды (см. [1 (26.4.6), (26.4.7)]), сходящиеся при всех
(12.13)
Когда
члены ряда из (12.14) убывают быстрее, чем у ряда (12.13) при всех
Когда
велико
выгоднее применять аппроксимационные формулы на основе разложений Паде:
(12.15)
где
Погрешность
стремится к 0 при
и отрицательна при
так что верно неравенство
Функции
удовлетворяют одному и тому же реккурентному соотношению, которое можно использовать для получения более точных приближений:
Для
имеем:
где
Аппроксимационные формулы для больших v. Когда v велико, с достаточной степенью точности верны следующие аппроксимации:
(12.17)
Аппроксимация обратной функции распределения
получается на основе (12.16), (12.17):
(12.18)