12.2. Вычисление функций распределения и обратных к ним

В данном параграфе приводятся методы вычисления значений функций распределения, процентных точек и обратных функций распределения для наиболее употребительных распределений — нормального, центрального и нецентрального -квадрат, центрального и нецентрального -распределения, -распределения, аппроксимации пре дельных распределений для некоторых непараметрических критериев, некоторых дискретных распределений. Сравнение величины того или иного критерия с процентными точками соответствующей функции распределения является обычно заключительным этапом в проверке статистических гипотез. В связи с этим к настоящему времени составлено огромное количество таблиц значений функций распределения, см., например, [1], [16]. В то же время развитие ЭВМ и программного обеспечения прикладной статистики привело к новому подходу к табулированию функций распределения и связанных с ними величин. При ручных вычислениях пользователи были заинтересованы в том, чтобы иметь обширные таблицы, которые позволяли бы вычислять значения функций с помощью простейшей интерполяции. Однако при работе с ЭВМ невыгодно заносить таблицы в память машины, а затем составлять программу обращения к нужной таблице и последующей интерполяции. Обычно предпочтительнее иметь не таблицу, а алгоритм вычисления значений функции с необходимой точностью, даже если он довольно сложен.

Особо следует выделить случай, когда вычисление значений обратной функции распределения используется при генерации случайных чисел с заданным законом распределения в методах статистического моделирования (см. § 6.3). Поскольку обычно необходимо генерировать значительное число таких чисел, то для получения приемлемого времени моделирования требуются возможно более простые алгоритмы

вычисления обратных функций распределения. Разумеется, ранее разработанные таблицы и разработка новых таблиц не потеряли и не потеряют своего значения, тем более что развитие малой вычислительной техники (настольных и ручных микрокалькуляторов) существенно упрощает их использование.

Тем не менее при изложении материала этого параграфа основной упор сделан на алгоритмы — разложения в ряды по степенным и рациональным функциям, аппроксимационные формулы различного типа, пригодные для программирования на ЭВМ.

12.2.1. Нормальное распределение.

Функция нормального распределения с математическим ожиданием и дисперсией о имеет вид:

Поскольку достаточно уметь вычислять функцию называемую стандартной функцией нормального распределения

где плотность стандартного нормального закона. Отметим следующее свойство функции

Для функции известны в настоящее время многочисленные разложения в ряды и непрерывные дроби, приближения полиномами Чебышева на различных интервалах, пригодные для вычисления значений . Здесь мы,

нако, приведем лишь небольшое число аппроксимационных формул, удобных для программирования.

Аппроксимационные формулы для функции распределения:

где

Менее точная аппроксимация подобного типа:

    (12.7)

Погрешность этого приближения не превышает

Приведем еще аппроксимационную формулу, не требующую вычисления плотности

Имеется аппроксимационная формула типа (12.8) с погрешностью [1, формула (26.2.19)].

Приведенные выше аппроксимации позволяют вычислить значения с необходимой в практических приложениях точностью.

Обратную функцию для нормального распределения будем обозначать через . Имеет место соотношение

где функция, обратная для стандартного нормального закона, т. е.

Так как при всех , то практически нужно уметь вычислять значения в полуинтервале

Приведем следующие аппроксимационные формулы, полученные модификацией формул (26.2.22) и (26.2.23) из [11 (в обеих формулах ),

Погрешность Интересно разложение для (а) вида

    (12.11)

Первые четыре коэффициента разложения:

Применение отрезка ряда с первыми четырьмя членами дает необходимую для практических применений точность в интервале