3.5.2. Линейные вероятностные модели.

Среди моделей, описывающих взаимосвязь между случайными величинами, выделяются так называемые линейные регрессионные модели. В достаточно общем случае они имеют вид

где Y — -мерный вектор наблюдений: ; X — известная матрица плана размера ; — неизвестный -мерный вектор параметров;

n-мерный случайный вектор-столбец ошибок, удовлетворяющий условию

где — неизвестный скалярный параметр, символ операции теоретического усреднения (математического ожидания, см. п. 5.6.1). Распространена интерпретация , как наблюдения, зависимой переменной (отклика) в точке пространства наблюдений.

Покажем сначала, что приведенная выше (см. § 3.1) модель со шрифтами может рассматриваться как частный случай общей линейной модели. Для этого обозначим . Уравнения (3.1) теперь можно записать в виде (3.5) с помощью матрицы X размера , такой, что

Нулевая гипотеза при данной параметризации состоит в проверке равенства

В качестве других частных случаев модели (3.5) и (3.6) укажем:

а) модель линейной регрессии первого порядка когда имеется один объясняющий количественный показатель (фактор) и при его значении, равном результирующий (объясняемый) показатель (или отклик) равен:

б) модель однофакторного дисперсионного анализа с I градациями (неколичественного) объясняющего фактора и независимыми наблюдениями при каждой градации:

Для разрешимости модели дополнительно предполагается, что . Наиболее часто интересуются вопросом, равны ли нулю все

в) модель двухфакторного анализа. Само название указывает, что имеются два объясняющих (неколичествеиных) фактора. Отклик для уровня первого фактора и уровня второго фактора имеет вид

где на эффекты факторов наложены дополнительные ограничения — независимые одинаково распределенные ошибки. Наиболее часто проверяемые гипотезы:

Линейные модели хорошо изучены, см., например, [71], [87].