5.6.6. Асимметрия и эксцесс.

Обращаясь к формуле (5.21), определяющей центральные моменты распределения, легко понять, что если плотность (или последовательность вероятностей ) симметрична относительно среднего значения то все нечетные центральные моменты (если они существуют) равны нулю. Поэтому любой нечетный, не равный нулю, момент можно рассматривать как характеристику асимметрии соответствующего распределения. Простейшая из этих характеристик и взята за основу вычисления так называемого коэффициента асимметрии — количественной

характеристики степени скошенности распределения

Нормировка с помощью деления на введена для того, чтобы эта характеристика не зависела от выбора физических единиц измерения исследуемой случайной величины: формула (5.33) определяет безразмерную характеристику степени скошенности распределения, инвариантную относительно физических единиц измерения

Таким образом, все симметричные распределения будут иметь нулевой коэффициент асимметрии (см. рис. 5.5, 5.6, 5.9, 5.10), в то время как распределения вероятностей с «длинной частью» кривой плотности, расположенной справа от ее вершины, характеризуются положительной асимметрией (см. рис. 5.8), а распределения с «длинной частью» кривой плотности, расположенной слева от ее вершины, обладают отрицательной асимметрией. Соответствующая эмпирическая характеристика — выборочный коэффициент асимметрии — подсчитывается с помощью второго и третьего центральных выборочных моментов, по формуле

Поведение плотности (полигона) распределения в районе его модального значения обусловливает геометрическую форму соответствующей кривой в окрестности точки ее максимума, ее островершинность. Количественная характеристика островершинности — эксцесс (или коэффициент эксцесса) оказывается полезной характеристикой при решении ряда задач, например при определении общего вида исследуемого распределения или при его аппроксимации с помощью некоторых специальных разложений (см., например, представление распределений с помощью рядов

Грама — Шарлье и Эджворта в [48, с. 246 — 256]). Эта характеристика задается с помощью соотношения

Рис. 5.11. Примеры плотностей для положительной, отрицательной и нулевой характеристик островершинности (эксцесса)

Ниже мы увидим, что своеобразным началом отсчета в измерении степени островершинности служит нормальное (гауссовское) распределение, для которого Как правило, распределения с более высокой и более острой вершиной кривой плотности (полигона) имеют положительный эксцесс, а с менее острой — отрицательный (рис. 5.11).

Соответствующая эмпирическая характеристика — выборочный эксцесс подсчитывается по формуле