характеристики степени скошенности распределения
Нормировка с помощью деления
на
введена для того, чтобы эта характеристика не зависела от выбора физических единиц измерения исследуемой случайной величины: формула (5.33) определяет безразмерную характеристику степени скошенности распределения, инвариантную относительно физических единиц измерения
Таким образом, все симметричные распределения будут иметь нулевой коэффициент асимметрии (см. рис. 5.5, 5.6, 5.9, 5.10), в то время как распределения вероятностей с «длинной частью» кривой плотности, расположенной справа от ее вершины, характеризуются положительной асимметрией (см. рис. 5.8), а распределения с «длинной частью» кривой плотности, расположенной слева от ее вершины, обладают отрицательной асимметрией. Соответствующая эмпирическая характеристика — выборочный коэффициент асимметрии
— подсчитывается с помощью второго и третьего центральных выборочных моментов, по формуле
Поведение плотности (полигона) распределения в районе его модального значения обусловливает геометрическую форму соответствующей кривой в окрестности точки ее максимума, ее островершинность. Количественная характеристика островершинности — эксцесс (или коэффициент эксцесса)
оказывается полезной характеристикой при решении ряда задач, например при определении общего вида исследуемого распределения или при его аппроксимации с помощью некоторых специальных разложений (см., например, представление распределений с помощью рядов
Грама — Шарлье и Эджворта в [48, с. 246 — 256]). Эта характеристика задается с помощью соотношения
Рис. 5.11. Примеры плотностей для положительной, отрицательной и нулевой характеристик островершинности (эксцесса)
Ниже мы увидим, что своеобразным началом отсчета в измерении степени островершинности служит нормальное (гауссовское) распределение, для которого
Как правило, распределения с более высокой и более острой вершиной кривой плотности (полигона) имеют положительный эксцесс, а с менее острой — отрицательный (рис. 5.11).
Соответствующая эмпирическая характеристика — выборочный эксцесс подсчитывается по формуле