7.4. Закон распределения вероятностей случайных признаков, являющихся функциями от известных случайных величин

В теории и практике статистических исследований очень важно уметь вычислять закон распределения вероятностей для функций от случайных величин, распределение которых известно. Именно на этом главным образом основана теория статистического оценивания и проверки статистических гипотез (см. гл. 8), так как и статистическая оценка, и критическая статистика, используемые соответственно при оценивании неизвестных значений параметров и при построении критериев статистической проверки гипотез, суть не что иное, как функции от результатов наблюдения исследуемой случайной величины . Для того чтобы ими осмысленно пользоваться и знать их статистические свойства, мы должны уметь восстанавливать их закон распределения по распределению изучаемой случайной величины (а значит, и ее наблюдений). Ниже описываются основные правила, руководствуясь которыми можно решать эту задачу.

1. Пусть случайная величина является монотонно возрастающей непрерывной функцией от заданной непрерывной случайной величины имеющей всюду дифференцируемую функцию распределения Каждому возможному значению случайной величины будет соответствовать возможное значение случайной величины .

В силу монотонности и непрерывности преобразования g по заданному значению можно однозначно восстановить соответствующее с помощью преобразования, обратного к g (обозначим его ). Аналогичное соотношение связывает и возможные значения этих случайных величин, т. е. .

Попробуем выразить функцию распределения в терминах заданных нам функций

Дифференцирование обеих частей (7.7) по у дает

Точно такие же рассуждения в случае монотонно убывающей функции приведут нас к некоторому видоизменению формулы (7.8):

Можно объединить формулы (7.8) и (7.8) в одной, справедливой для любого взаимно-однозначного преобразования

Пример 7.1. Вычислить функцию плотности случайной величины если известно, что подчиняется -нормальному закону. В данном примере следовательно,

Подставляя это в получаем

т. е. плотность логарифмически-нормального закона (см. п. 6.1.6).

Пример 7.2. Вычислить функцию плотности случайной величины если известна плотность случайной величины . В данном случае . В соответствии с (7.7) и имеем:

Это правило пересчета функций распределения и плотности позволяет, в частности, использовать таблицы стандартного (т. е. ) нормального закона для определения значений функции распределения и функции плотности нормальной случайной величины с произвольными параметрами При этом, как легко видеть, роль играет стандартная нормальная величина

а роль произвольная нормальная величина т. е.

2. Если интересующее нас преобразование не является взаимно-однозначным, то сколько-нибудь общие формулы получать нецелесообразно. Вместо этого приходится каждый раз решать определенный тип задач, прилаживаясь к их специфике. Рассмотрим, например, случай

Следовательно,

Применение данной формулы к случаю, когда является стандартной нормальной величиной, дает

что является частным случаем гамма-распределения с параметрами (см. п. 6.2.5).

3. Обобщим формулу на многомерный случай. Пусть случайная величина с известной функцией распределения и плотностью вероятности (X) и пусть другая -мерная случайная величина определяется как заданная непрерывная векторная функция от компонент , т. е.

Предполагается, что соответствие является взаимно-однозначным, т. е. существует обратное преобразование

позволяющее заданному «значению» однозначно восстанавливать соответствующее «значение» :

Соответственно между многомерными возможными «значениями» случайных величин имеют место векторные соотношения

Тогда совместная плотность вероятности случайных величин равна

где определитель преобразования (якобиан)

так же, как и в формуле берется по абсолютной величине.

4. Выведем распределение суммы двух независимых случайных слагаемых (формулу композиции). Пусть независимые случайные величины и имеют плотности вероятности соответственно . Требуется произвести композицию этих плотностей, т. е. найти плотность распределения случайной величины . По существу, мы должны рассмотреть совместное двумерное распределение и для определения функции распределения случайной величины найти в плоскости область возможных значений соответствующих

событию . На рис. 7.1 эта область заштрихована и обозначена Получаем

Здесь мы воспользовались тождеством (справедливым в силу независимости ), а при интегрировании по области пределы интегрирования по оси брали от до а по оси — от до прямой

Дифференцирование по левой и правой частей соотношения (7.21) дает

Рис. 7.1. Попадание в область на плоскости соответствует событию

Формулу (7.13) называют формулой композиции двух распределений или формулой свертки. Для обозначения композиции (свертки) законов распределения часто применяют символическую запись

Воспользовавшись формулой (7.13), можно вывести упомянутое в п. 6.1.5 и 6.1.10 свойство «самовоспроизводи-мости» законов Гаусса и Коши (сумма нормальных случайных величин сама распределена по нормальному закону; сумма одинаково по Коши распределенных случайных величин сама подчиняется закону распределения Коши),

а также получить формулы для плотности распределения сумм равномерно распределенных величин, приведенные в п. 6.1.7.