Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
7.4. Закон распределения вероятностей случайных признаков, являющихся функциями от известных случайных величин
В теории и практике статистических исследований очень важно уметь вычислять закон распределения вероятностей для функций от случайных величин, распределение которых известно. Именно на этом главным образом основана теория статистического оценивания и проверки статистических гипотез (см. гл. 8), так как и статистическая оценка, и критическая статистика, используемые соответственно при оценивании неизвестных значений параметров и при построении критериев статистической проверки гипотез, суть не что иное, как функции от результатов наблюдения исследуемой случайной величины
. Для того чтобы ими осмысленно пользоваться и знать их статистические свойства, мы должны уметь восстанавливать их закон распределения по распределению изучаемой случайной величины
(а значит, и ее наблюдений). Ниже описываются основные правила, руководствуясь которыми можно решать эту задачу.
1. Пусть случайная величина
является монотонно возрастающей непрерывной функцией от заданной непрерывной случайной величины имеющей всюду дифференцируемую функцию распределения
Каждому возможному значению
случайной величины
будет соответствовать возможное значение
случайной величины
.
В силу монотонности и непрерывности преобразования g по заданному значению
можно однозначно восстановить соответствующее
с помощью преобразования, обратного к g (обозначим его
). Аналогичное соотношение связывает и возможные значения этих случайных величин, т. е.
.
Попробуем выразить функцию распределения
в терминах заданных нам функций
Дифференцирование обеих частей (7.7) по у дает
а роль
произвольная нормальная величина
т. е.
2. Если интересующее нас преобразование
не является взаимно-однозначным, то сколько-нибудь общие формулы получать нецелесообразно. Вместо этого приходится каждый раз решать определенный тип задач, прилаживаясь к их специфике. Рассмотрим, например, случай
Следовательно,
Применение данной формулы к случаю, когда
является стандартной нормальной величиной, дает
что является частным случаем гамма-распределения с параметрами
(см. п. 6.2.5).
3. Обобщим формулу
на многомерный случай. Пусть
случайная величина с известной функцией распределения
и плотностью вероятности (X) и пусть другая
-мерная случайная величина
определяется как заданная непрерывная векторная функция
от компонент
, т. е.
Предполагается, что соответствие
является взаимно-однозначным, т. е. существует обратное преобразование
а также получить формулы для плотности распределения сумм равномерно распределенных величин, приведенные в п. 6.1.7.