Главная > Основы моделирования и первичная обработка данных
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

9.3. Построение статистического критерия; принцип отношения правдоподобия

Попытаемся выяснить, как конкретно получаются те функции от результатов наблюдения (критические статистики по значениям которых принимается окончательное решение о том, соответствует ли проверяемая гипотеза имеющимся у нас данным (9.1) или противоречит им.

9.3.1. Сущность принципа отношения правдоподобия.

Для пояснения общего принципа, приводящего к построению наилучших (наиболее мощных при заданной величине уровня значимости) критериев, вернемся к условиям примера с заработной платой (см. п. 8.6.1) и соответственно к рис. 8.2. В этом примере исследовалась логарифмически нормально распределенная заработная плата работников определенной совокупности, а в качестве исходных данных мы располагали тремя наблюдениями (тремя обследованными работниками): Пусть мы хотим проверить основную гипотезу (простую) о среднем значении нормально распределенной случайной величины

против простой альтернативы

Из рис. 8.2 видно, что гипотеза не противоречит имеющимся наблюдениям (более того, в данном случае наши наблюдения выглядят наиболее правдоподобными именно при гипотезе в то время как те же наблюдения оказываются малоправдоподобными в условиях справедливости гипотезы

В общем случае представление о сравнительной правдоподобности имеющихся наблюдений (в отношении проверяемой и альтернативной гипотез) дает нам сопоставление соответствующих функций правдоподобия (см. формулу ) и, в частности, их отношение

где — значения функций правдоподобия наблюдений вычисленные в предположении справедливости соответственно гипотез

Очевидно, чем правдоподобнее наблюдения в условиях гипотезы тем больше функция правдоподобия и тем меньше величина Если плотность распределения статистики при условии справедливости гипотезы то построение критерия проверки гипотезы с заданным уровнем значимости а сводится к определению 100 а -ной точки распределения и к реализации следующего правила:

Критерии, основанные на статистиках вида (9.7) и процедурах (9.8), носят название критериев отношения правдоподобия, а их практическая реализуемость и предпочтительность по отношению к другим возможным критериям подкреплены следующими фактами (справедливыми в достаточно широком классе ситуаций, см., например, [48]).

1. Критерии отношения правдоподобия являются наиболее мощными среди всех других возможных критериев (лемма Неймана — Пирсона).

2. Плотность распределения критической статистики как правило, без труда восстанавливается по функции правдоподобия L наблюдаемой случайной величины.

Обобщая рассмотренный пример с проверкой гипотезы о среднем значении нормальной случайной величины (при известном значении дисперсии ), имеем:

так что

где

Предположим для определенности (в приведенном выше примере ). Тогда и если мы положим

где Q (а) -ная точка стандартного нормального распределения, то неравенство

будет выполняться на множестве всех таких выборок для которых а), или, что то

Получившееся правило проверки гипотезы не зависит от альтернативного значения параметра а потому является (принимая во внимание лемму Неймана — Пирсона) наиболее мощным при всех возможных альтернативных значениях параметра или, как принято в таких случаях говорить, равномерно наиболее мощным.

1
Оглавление
email@scask.ru