9.3. Построение статистического критерия; принцип отношения правдоподобия

Попытаемся выяснить, как конкретно получаются те функции от результатов наблюдения (критические статистики по значениям которых принимается окончательное решение о том, соответствует ли проверяемая гипотеза имеющимся у нас данным (9.1) или противоречит им.

9.3.1. Сущность принципа отношения правдоподобия.

Для пояснения общего принципа, приводящего к построению наилучших (наиболее мощных при заданной величине уровня значимости) критериев, вернемся к условиям примера с заработной платой (см. п. 8.6.1) и соответственно к рис. 8.2. В этом примере исследовалась логарифмически нормально распределенная заработная плата работников определенной совокупности, а в качестве исходных данных мы располагали тремя наблюдениями (тремя обследованными работниками): Пусть мы хотим проверить основную гипотезу (простую) о среднем значении нормально распределенной случайной величины

против простой альтернативы

Из рис. 8.2 видно, что гипотеза не противоречит имеющимся наблюдениям (более того, в данном случае наши наблюдения выглядят наиболее правдоподобными именно при гипотезе в то время как те же наблюдения оказываются малоправдоподобными в условиях справедливости гипотезы

В общем случае представление о сравнительной правдоподобности имеющихся наблюдений (в отношении проверяемой и альтернативной гипотез) дает нам сопоставление соответствующих функций правдоподобия (см. формулу ) и, в частности, их отношение

где — значения функций правдоподобия наблюдений вычисленные в предположении справедливости соответственно гипотез

Очевидно, чем правдоподобнее наблюдения в условиях гипотезы тем больше функция правдоподобия и тем меньше величина Если плотность распределения статистики при условии справедливости гипотезы то построение критерия проверки гипотезы с заданным уровнем значимости а сводится к определению 100 а -ной точки распределения и к реализации следующего правила:

Критерии, основанные на статистиках вида (9.7) и процедурах (9.8), носят название критериев отношения правдоподобия, а их практическая реализуемость и предпочтительность по отношению к другим возможным критериям подкреплены следующими фактами (справедливыми в достаточно широком классе ситуаций, см., например, [48]).

1. Критерии отношения правдоподобия являются наиболее мощными среди всех других возможных критериев (лемма Неймана — Пирсона).

2. Плотность распределения критической статистики как правило, без труда восстанавливается по функции правдоподобия L наблюдаемой случайной величины.

Обобщая рассмотренный пример с проверкой гипотезы о среднем значении нормальной случайной величины (при известном значении дисперсии ), имеем:

так что

где

Предположим для определенности (в приведенном выше примере ). Тогда и если мы положим

где Q (а) -ная точка стандартного нормального распределения, то неравенство

будет выполняться на множестве всех таких выборок для которых а), или, что то

Получившееся правило проверки гипотезы не зависит от альтернативного значения параметра а потому является (принимая во внимание лемму Неймана — Пирсона) наиболее мощным при всех возможных альтернативных значениях параметра или, как принято в таких случаях говорить, равномерно наиболее мощным.