1.4. Производящие функции

1.4.1. Производящая функция моментов

Иногда можно определить моменты более просто и удобно с помощью другой функции, известной как производящая функция, а не вычислять их непосредственно. Например, функция, определенная для действительного с помощью формулы

известна как производящая функция моментов, при условии, что она существует. Разлагая экспоненту в ряд и интегрируя почленно, находим, что

так что момент может быть получен из или путем разложения в степенной ряд по или путем дифференцирования; в этом случае мы получим

Для дискретной случайной переменной, такой, как случайное целое число мы попросту заменяем интеграл в выражении (1.4.1) суммой по и записываем

Как и прежде, это выражение определяет моменты для Возможно также определить факториальные моменты аналогичным способом. Для этого мы вводим производящую функцию факториальных моментов в виде:

которая при разложении в ряд позволяет получить факториальные моменты. Следует отметить, что ряд является бесконечным, если отсутствует верхняя граница для Чтобы избежать повторения, далее мы ограничимся, в основном непрерывной случайной переменной.