1.4. Производящие функции
1.4.1. Производящая функция моментов
Иногда можно определить моменты более просто и удобно с помощью другой функции, известной как производящая функция, а не вычислять их непосредственно. Например, функция, определенная для действительного 
с помощью формулы
известна как производящая функция моментов, при условии, что она существует. Разлагая экспоненту в ряд и интегрируя почленно, находим, что
так что момент 
может быть получен из 
или путем разложения в степенной ряд по или путем дифференцирования; в этом случае мы получим
Для дискретной случайной переменной, такой, как случайное целое число 
мы попросту заменяем интеграл в выражении (1.4.1) суммой по 
и записываем
Как и прежде, это выражение определяет моменты для 
Возможно также определить факториальные моменты 
аналогичным способом. Для этого мы вводим производящую функцию факториальных моментов 
в виде:
которая при разложении в ряд позволяет получить факториальные моменты. Следует отметить, что ряд является бесконечным, если отсутствует верхняя граница для 
Чтобы избежать повторения, далее мы ограничимся, в основном непрерывной случайной переменной.
