14.1.1. Решение по теории возмущений в картине взаимодействия

Очень часто представляется более удобным для нахождения решений по теории возмущений работать не в картине Шредингера (5), а в картине взаимодействия В этой картине динамические переменные эволюционируют во времени, в соответствии с не взаимодействующей частью гамильтониана, как если бы они эволюционировали бы в картине Гейзенберга в отсутствие взаимодействия, а векторы состояния не изменяются, кроме как вследствие взаимодействия Если мы предположим, что в момент времени различные картины совпадают, так что

где индексы обозначают представление, то в другие моменты времени

Уравнение движения Шредингера (14.1.4) принимает более простой вид, когда оно выражается через векторы состояния и операторы в картине взаимодействия

Из этой формулы видно, что эволюция вектора состояния определяется только гамильтонианом взаимодействия, что обычно упрощает вычисление. В дальнейшем будем считать, что мы работаем в картине взаимодействия и нижний индекс обозначающий ее, далее будем опускать.

Уравнение (14.1.9) формально можно проинтегрировать по времени и получить выражение

которое является интегральным уравнением типа Вольтерра и которое может быть решено методом итераций. Будем рассматривать в качестве приближения нулевого порядка к и запишем

Подставим теперь это приближение под знак интеграла в (14.1.10), чтобы получить приближение первого порядка для Таким образом, записываем

и если заменяется этим приближением под знаком интеграла в (14.1.10), то получаем приближение второго порядка

Повторение указанной процедуры приводит к следующему бесконечному ряду (ср. разд. 9.2), который можно рассматривать как точное, явное решение для при условии, что ряд сходится

На практике ряды, содержащие бесконечное число членов, используются редко, вместо этого ряд обрывается на той стадии, когда это оказывается достаточным для хорошего приближения к решению. Для многих приложений достаточно первого не равного нулю члена, и ряд обрывается на этом этапе.

Если состояния атомной системы и поля известны по отдельности в момент времени когда, как предполагается, начинается взаимодействие, то начальный оператор плотности полной системы представляется в виде произведения двух независимых операторов плотности

каждый из которых накрывает свое гильбертово пространство.

При решении ряда проблем мы будем интересоваться вероятностью того, что спустя время после начала взаимодействия, полная система может быть найдена в некотором квантовом состоянии при котором оператор плотности ортогонален оператору плотности в начальном состоянии т.е.

Пример такой задачи встречается при рассмотрении фотоэлектрического детектирования света, где мы исходим из ситуации связанных электронов и задаемся вероятностью того, что один или несколько электронов станут свободными под влиянием электромагнитного взаимодействия. Для того, чтобы получить вероятность мы должны спроецировать конечное состояние на интересующее нас состояние. Таким образом, получаем

и далее из (14.1.11) имеем

В силу ортогональности (14.1.13) первые два члена этого ряда обращаются в нуль, и мы имеем в наинизшем неисчезающем порядке

В дальнейшем мы воспользуемся этим простым выражением для анализа некоторых проблем.