1.2.1. Совместные вероятности

События, которые получены путем объединения с другими событиями, известны как совместные события, а соответствующие вероятности — совместные вероятности. Таким образом, является совместной вероятностью обоих событий или вероятностью пересечения А с В. Порядок, в котором перечислены является несущественным. Так как совместное событие является подмножеством события А (см. рис. 1.16), то из выражения (1.2.2) следует, что

Следовательно, совместная вероятность для двух событий всегда меньше (или равна) вероятности каждого из событий.

Если является набором всех возможных взаимоисключающих событий, то тогда

Этот результат следует непосредственно из того факта, что также является набором взаимоисключающих событий, покрывающих все пространство [см. (1.1.3)]. В более общем случае совместная вероятность может включать в себя более двух событий. Если является полным набором взаимоисключающих событий, то тогда

Теперь рассмотрим ситуацию, в которой два события не являются обязательно взаимоисключающими (см. рис. 1.1а), и рассчитаем вероятность объединения Мы не сможем применить закон суммирования (1.2.6) к непосредственно. Однако, заметим, что два события (рис. 1.1) являются взаимоисключающими, а их объединение равно Тогда, согласно (1.1.3),

Также, являются взаимоисключающими с объединением так что

Если мы подставим в выражение (1.2.7), то сразу получим

так что

Выражение (1.2.8) известно как закон сложения для двух событий, которые не являются обязательно взаимоисключающими. Соотношение легко обобщается на событий: для которых оно может быть доказано методом индукции, так что

Также, повторным применением неравенства (1.2.9) мы легко найдем, что

где знак равенства имеет место в случае взаимоисключающих событий.