16.5.1. Состояния Дике

Рассмотрим атомное коллективное состояние задаваемое в виде произведения одноатомных состояний, в котором из атомов находятся в нижнем состоянии атомов — в верхнем состоянии где

или

Очевидно, что число является мерой полной инверсии атомов и оно является либо целым, либо полуцелым. Состояние имеет вид

и из определения сразу видно, что оно является собственным состоянием оператора с собственным значением

Таким образом, состояние является собственным энергетическим состоянием атомной системы с собственным значением и это собственное значение не зависит от способа, каким возбуждений фактически распределяются по атомам. В общем случае собственное значение имеет вырождение

по перестановкам среди атомов, которое максимально, когда Вырождение отсутствует вообще, когда В этом случае все атомы или полностью возбуждены или полностью невозбуждены.

Степень вырождения собственного значения энергии может быть существенно уменьшена, если рассмотреть состояния, удовлетворяющие выражению (16.5.10) и являющиеся также собственными состояниями оператора Поскольку и коммутируют, согласно (16.5.6) существуют состояния, которые являются одновременно собственными состояниями как оператора з, так и оператора Если обозначить собственные значения через а соответствующие собственные состояния через можно записать

Определение (16.5.5) оператора и явная аналогия между операторами и операторами углового момента позволяют сразу установить ограничение на I, и в результате мы находим, что I может быть целым или полуцелым с условием

Состояния были впервые введены Дике (Dicke, 1954) в связи с исследованием излучения группы атомов, взаимодействующих через электромагнитное поле. Он назвал число I кооперационным числом, поскольку оно играет ключевую роль в определении скорости кооперативного излучения атомной системы. Мы еще вернемся к обсуждению этой проблемы в следующем параграфе.

Из коммутационного соотношения (16.5.4) и из выражения (16.5.12) сразу же следует, что

так что действие на состояние Дике состоит в увеличении или уменьшении собственного значения на единицу, в то время как I остается неизменным. Кроме того, из хорошо известных свойств операторов углового момента следует, что (см., например, Dicke and Wittke, 1960, гл. 9)

Поскольку взаимодействие между атомной системой и полем осуществляется посредством коллективного дипольного момента задаваемого выражением (16.5.8) и выражаемого через операторы и любое дипольное взаимодействие с атомной системой, находящейся в состояние Дике, будет подчиняться правилам отбора первого порядка

Для любого заданного кооперационного числа I «основное состояние» атомной системы представляется состоянием для которого имеет наименьшее возможное значение. Более возбужденное состояние Дике может быть получено из основного состояния путем многократного применения коллективного повышающего оператора так что, используя (16.5.15), можно записать

Формирование состояний легче всего проиллюстрировать, рассмотрев сначала систему из двухуровневых атомов. Полностью возбужденное состояние имеет и из (16.5.13) следует, что также и Следовательно, можно отождествить полностью возбужденное состояние с состоянием Дике или

Для того, чтобы получить другие состояния Дике из подействуем понижающим оператором и воспользуемся определением (16.5.2) и соотношениями (16.5.15). Тогда найдем, что

так что

и последующее применение оператора приводит к формуле

так что

Все эти состояния соответствуют кооперационному числу Для того, чтобы увидеть, какие состояния соответствуют воспользуемся (16.5.5) и найдем собственные состояния оператора Нетрудно показать, что для любых комплексных чисел

Состояние поэтому является собственным состоянием оператора с собственным значением если справедливо выражение

которое означает, что

или

Первое из условий приводит к состоянию определяемому выражением (16.5.19), которое мы уже нашли. Последнее из условий означает, что и приводит к состоянию

после нормировки. Четыре возможных состояния когда проиллюстрированы на рис. 16.14. Состояние является синглетом, в то время как соответствует триплетному состоянию.

Рис. 16.14. Энергетические уровни состояний Дике двухатомной системы

Рис. 16.15. Энергетические уровни состояний Дике трехатомной системы. Уровни при являются вырожденными

В одном смысле пример с является, пожалуй, слишком упрощенным, поскольку каждое их четырех состояний Дике выражается однозначно через четыре состояния и вырождение отсутствует. Когда же превосходит 2, ситуация становится немного сложнее.

Так, если можно легко отождествить основное состояние трехатомной системы со следующим состоянием

и, действуя многократно повышающим оператором, получаем

Пока каждое состояние Дике определяется однозначно. Однако когда мы приходим к состояниям каждое из которых является собственным состоянием оператора с собственным значением то сразу обнаруживаем, что любое состояние вида

является состоянием типа Аналогично, любое состояние вида

является состоянием типа Поэтому состояния — и не определяются однозначно выражением (16.5.12) и двумя собственными значениями Однако нетрудно показать, что все состояния типа выражаются в виде линейных комбинаций двух линейно независимых состояний

Подобным образом все состояния типа могут быть образованы из двух линейно независимых состояний

Следовательно, существуют два состояния типа и два состояния типа с немного отличающимися свойствами симметрии, между которыми возможны только такие дипольные переходы, которые связывают состояния с одинаковой симметрией. Система энергетических уровней проиллюстрирована на рис. 16.15.

Однако если мы потребуем, чтобы все три состояния одного возбуждения вносили равные вклады в суперпозиционное состояние так что то единственно возможные состояния Дике типа имеют вид

Эти состояния являются ортогональными. Как так и остаются неизменными при циклической перестановке атомов, но одно состояние переходит в другое при перестановке двух атомов. Индексы обозначают две различные симметрии. Аналогично, единственно возможные состояния Дике типа с имеют вид

Эти состояния снова отличаются только своей симметрией. При дипольном переходе только состояния с одинаковой симметрией а или преобразуются друг в друга.