11.8.3. Диагональное представление p с помощью последовательности функций

Как было показано Клаудером и др. (Klauder, МсКеппа and Currie, 1965; Klauder, 1966; см. также Rocca, 1966), можно избежать использования сингулярных функций вводя вместо них последовательность операторов плотности и последовательность весовых функций таких что

Здесь может быть последовательностью регулярных функций или последовательностью умеренных распределений, или некоторой другой последовательностью. Для каждого из можно вычислить является средним значением оператора О в состоянии Тогда последовательность сходится к представлению в фазовом пространстве, если

для любого, имеющего среднее значение оператора О. Характер последовательности определяет характер сходимости а также диапазон допустимых операторов. В частности, Клаудером было показано (Klauder, 1966), что существует последовательность бесконечно дифференцируемых функций убывающих на бесконечности быстрее любой отрицательной степени, такая что сходится к по «следовой» (trace-class) норме, и что упомянутое выше условие удовлетворяется для любого ограниченного оператора О.

На первый взгляд, требование ограниченности операторов кажется жестким и сужающим область применимости данного представления. Однако, используя представление оператора по его собственным состояниям, можно вычислить также среднее значение неограниченного оператора О. Например, предположим, что О записывается в виде

где образуют полное множество собственных значений и собственных состояний оператора О. Теперь учтем, что все операторы проектирования ограничены единицей, и их средние значения следовательно, вычисляются с помощью диагонального представления. Тогда можно использовать соотношение

для оператора О, который не обязательно ограничен, но среднее значение которого существует. Данная процедура позволяет избежать использования сингулярных функций, однако при этом теряется возможность определять с первого взгляда наличие неклассического состояния. В дальнейшем мы не будем использовать представление с помощью последовательностей функций.

Теперь рассмотрим несколько методов определения весовой функции в диагональном представлении по когерентным состояниям (11.8.1). Мы увидим, что иногда будут появляться сингулярные функции, но это не будет сказываться на полезности соотношений типа (11.8.5).