13.1.6. Корреляционные функции излучения черного тела

Оператор плотности можно использовать для вычисления некоторых функций корреляции второго порядка оптического поля. По историческим причинам мы сосредоточимся на корреляциях, связанных с электрическим и магнитным полями, для которых положительно-частотные части операторов поля задаются первыми членами из (10.4.39) и (10.4.40)

где Следовательно, нормально упорядоченный тензор корреляции второго порядка электрического поля определяется выражением

Поскольку все моды независимы, и согласно (13.1.11) , последнее выражение, с учетом (13.1.13) сводится к следующему (Bourret, 1960; Sarfatt, 1963; Mehta and Wolf, 1964a, b)

Используя тензорное соотношение (10.8.2) и заменяя сумму по к интегралом, согласно (10.8.4) получаем

Отметим, что эта корреляционная функция зависит только от разности как между пространственными, так и между временными аргументами, поэтому поле является как пространственно однородным, так и стационарным, по крайней мере, в широком смысле. Как мы покажем в разд. 13.1.8, интеграл в (13.1.23) имеет также необходимые свойства симметрии, отвечающие изотропному полю (ср. разд. 12.8). Подобным

Рис. 13.2. Нормированные корреляционные функции электрического и магнитного полей излучения черного тела: а — модуль и фаза типичной диагональной компоненты как функции времени в — изменение при перемещении вдоль оси изменение при перемещении вдоль оси изменение при перемещении в направлении в плоскости Рис. взяты из взяты из (Mehta and Wolf, 1964а)

же образом из (13.1.22) следует, что для магнитного поля

и для смешанного тензора корреляции

Эти интегралы не вычисляются в конечном виде, хотя их можно представить в виде бесконечного ряда. Поведение и иллюстрируется на рис. 13.2, где показаны некоторые свойства нормированного тензора корреляции

как функции своих аргументов. Область, в которой функция существенно отлична от нуля, имеет размер порядка во времени и порядка в пространстве, что приближенно соответствует периоду и длине волны, при которых спектральное распределение Планка имеет максимум. Однако отметим, что ортогональные компоненты и ортогональные компоненты в одной и той же пространственно-временной точке не коррелируют, поскольку оба интеграла в (13.1.23) и в (13.1.24) становятся при этом

пропорциональными Действительно, когда пространственно-временные точки совпадают, и становятся независящими как от пространственных, так и от временных аргументов, и сводятся к интегралам, которые можно вычислить, а именно,

где средние интенсивности электрического и магнитного полей.

Рис. 13.3. Изменение нормированной смешанной корреляционной функции электрического и магнитного полей излучения черного тела при перемещении вдоль оси

Рис. 13.3 иллюстрирует некоторые свойства нормированного смешанного тензора корреляции (без суммирования по

Из-за наличия множителя в (13.1.25) все диагональные компоненты обращаются в нуль. Это означает, что параллельные составляющие электрического и магнитного полей всегда некоррелированы. Кроме того, если или в (13.1.25), то сразу видно, что трехмерный интеграл по к обращается в нуль по соображениям симметрии. Следовательно, между составляющими электрического и магнитного полей в одной и той же пространственной точке отсутствует временная когерентность.