13.1.6. Корреляционные функции излучения черного тела
Оператор плотности можно использовать для вычисления некоторых функций корреляции второго порядка оптического поля. По историческим причинам мы сосредоточимся на корреляциях, связанных с электрическим и магнитным полями, для которых положительно-частотные части операторов поля задаются первыми членами из (10.4.39) и (10.4.40)
где
Следовательно, нормально упорядоченный тензор корреляции второго порядка электрического поля определяется выражением
Поскольку все моды независимы, и согласно (13.1.11)
, последнее выражение, с учетом (13.1.13) сводится к следующему (Bourret, 1960; Sarfatt, 1963; Mehta and Wolf, 1964a, b)
Используя тензорное соотношение (10.8.2) и заменяя сумму по к интегралом, согласно (10.8.4) получаем
Отметим, что эта корреляционная функция зависит только от разности как между пространственными, так и между временными аргументами, поэтому поле является как пространственно однородным, так и стационарным, по крайней мере, в широком смысле. Как мы покажем в разд. 13.1.8, интеграл в (13.1.23) имеет также необходимые свойства симметрии, отвечающие изотропному полю (ср. разд. 12.8). Подобным
Рис. 13.2. Нормированные корреляционные функции электрического и магнитного полей излучения черного тела: а — модуль и
фаза типичной диагональной компоненты как функции времени
в — изменение
при перемещении вдоль оси
изменение
при перемещении вдоль оси
изменение
при перемещении в направлении
в плоскости
Рис.
взяты из
взяты из (Mehta and Wolf, 1964а)
же образом из (13.1.22) следует, что для магнитного поля
и для смешанного тензора корреляции
Эти интегралы не вычисляются в конечном виде, хотя их можно представить в виде бесконечного ряда. Поведение и
иллюстрируется на рис. 13.2, где показаны некоторые свойства нормированного тензора корреляции
как функции своих аргументов. Область, в которой функция
существенно отлична от нуля, имеет размер порядка
во времени и порядка
в пространстве, что приближенно соответствует периоду и длине волны, при которых спектральное распределение Планка имеет максимум. Однако отметим, что ортогональные компоненты и ортогональные компоненты
в одной и той же пространственно-временной точке не коррелируют, поскольку оба интеграла в (13.1.23) и в (13.1.24) становятся при этом
пропорциональными Действительно, когда пространственно-временные точки совпадают,
и
становятся независящими как от пространственных, так и от временных аргументов, и сводятся к интегралам, которые можно вычислить, а именно,
где
средние интенсивности электрического и магнитного полей.
Рис. 13.3. Изменение нормированной смешанной корреляционной функции
электрического и магнитного полей излучения черного тела при перемещении вдоль оси
Рис. 13.3 иллюстрирует некоторые свойства нормированного смешанного тензора корреляции (без суммирования по
Из-за наличия множителя в (13.1.25) все диагональные компоненты
обращаются в нуль. Это означает, что параллельные составляющие электрического и магнитного полей всегда некоррелированы. Кроме того, если
или
в (13.1.25), то сразу видно, что трехмерный интеграл по к обращается в нуль по соображениям симметрии. Следовательно, между составляющими электрического и магнитного полей в одной и той же пространственной точке отсутствует временная когерентность.