1.6. Многомерное гауссовское распределение

Гауссовские случайные переменные часто встречаются в виде групп и должны рассматриваться совместно. Рассмотрим некоторое множество гауссовских случайных переменных со средними квадратичными отклонениями соответственно. Каждая случайная переменная имеет распределение вероятности вида (1.5.22). Если все случайные переменные статистически независимы, то можно сразу записать совместное распределение вероятности

Здесь являются совместными гауссовскими случайными переменными, которые, однако, являются независимыми, так что эта формула определенно не описывает случай наиболее общего многомерного гауссовского распределения. Матрица смешанных вторых моментов для является диагональной, и ее определитель равен

Экспонента в выражении (1.6.1) может быть записана в матричной форме. Пусть х имеет вид матрицы-столбца:

является сопряженной матрицей-строкой. Аналогично, пусть является матрицей-столбцом с элементами Тогда можно выразить -ковариационную матрицу в виде

а сумма в выражении (1.6.1) принимает вид

где является обратной ковариационной матрицей; при этом Это позволяет нам выразить формулу (1.6.1) в более компактном виде

Мы будем считать это распределение вероятности общим многомерным гауссовским распределением независимо от того, является ли -матрица диагональной или нет.

Теперь рассмотрим однородное линейное преобразование от и покажем, что оно сохраняет структуру уравнения (1.6.5), хотя в общем случае -матрица не будет больше диагональной. Если у является матрицей-столбцом с элементами то она всегда может быть выражена в форме

где является -матрицей преобразования. То же преобразование связывает Для простоты мы выберем ортогональным (т.е. унитарным с действительными элементами). Тогда якобиан преобразования является единичным, так что совместная плотность вероятности для имеет вид [ср. (1.3.17)]:

Теперь выразим х через у. Обращая формулу (1.6.6), получаем так что

Матрица для у задается в виде

и является положительно определенной. В общем, она не является больше диагональной, и ее обратная матрица определяется формулой

что можно проверить прямым произведением матриц. В результате из выражений (1.6.8) и (1.6.10) имеем

Поскольку определитель эрмитовой матрицы не изменяется при унитарном преобразовании, имеем Тогда выражение (1.6.7) приобретает вид

Оно имеет точно такую же структуру, как и выражение (1.6.5), за исключением того, что в отличие от не обязательно является диагональной. Поэтому экспонента имеет не такой простой вид, как в выражении (1.6.1), и вместо того, чтобы быть квадратичной, она имеет билинейную форму.

которая является характерной для многомерного гауссовского распределения.

Если проинтегрировать по случайным переменным, скажем по то получим выражение

которое является обычной формой гауссовской плотности вероятности для одной случайной переменной. Из уравнения (1.6.12) очевидно, что все моменты высшего порядка и корреляции величин должны выражаться через моменты второго порядка, а гауссовские случайные переменные остаются гауссовскими при линейном преобразовании.

Применим эти результаты к специальному случаю гауссовского распределения для двух переменных, в котором матрица смешанного второго момента не обязательно остается диагональной. С помощью коэффициента корреляции можно выразить -матрицу в виде

в то время как обратная матрица имеет вид

Тогда и для гауссовского распределения вероятностей двух случайных переменных получаем следующее выражение

Из этого выражения очевидно, что всякий раз, когда две гауссовские случайные переменные некоррелированы, так что взаимная плотность вероятности разлагается на произведение плотностей вероятности для двух отдельных случайных переменных. Другими словами, если две гауссовские случайные переменные некоррелированы, то они являются также и статистически независимыми. Однако это неверно для случайных переменных в общем случае.