12.14.1. Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена для перепутанного двухфотонного состояния

Для демонстрации парадокса в оптической области рассмотрим двухфотонное состояние с нулевым угловым моментом. Его можно создать при каскадном распаде атома, совершающего двухэтапный переход типа Предположим, что фотоны 1 и 2 покидают атом в противоположных направлениях вдоль оси z в синглетном состоянии (см. рис. 12.10)

причем фотоны поляризованы ортогонально. Будем обозначать состояние, в котором фотон линейно поляризован в направлении оси х через В таком случае, легко можно увидеть, что каждый из двух фотонов, будучи рассмотрен по отдельности, неполяризован. Ибо из (12.14.1) мы получаем для матрицы поляризации фотона (см. разд. 6.2), вычисляя след по остальным переменным,

Это выражение представляет неполяризованный свет. Однако поляризация двух фотонов строго определена.

Предположим теперь, что на пути этих двух фотонов поставлены линейные поляризаторы, наклоненные к оси х под углами соответственно. Впоследствии эти фотоны попадают на два фотодетектора

Рис. 12.10. Схема эксперимента для обнаружения поляризационных корреляций между двумя фотонами

как пояснено на рис. 12.10. Пусть есть вероятность того, что детектируется фотон из плеча совместная вероятность того, что соответствующими детекторами детектируются оба фотона с установленными поляризаторами. Пусть квантовые выходы этих двух детекторов. Для того, чтобы связать динамические переменные поля за поляризатором с переменными поля перед поляризаторами, воспользуемся соотношением, выведенным ранее, в разд. 12.13 [ср. (12.13.5)],

которое учитывает проективные свойства каждого поляризатора, а также сохраняет коммутационные соотношения. Тогда из (12.14.1) и (12.14.3) получаем

тогда как совместная вероятность задается выражением

Последняя вероятность зависит от позиции обоих поляризаторов. Поэтому условная вероятность детектирования фотона 2, при условии детектирования фотона 1 (ср. разд. 1.2), равна

Эта вероятность может быть равна единице для идеального детектора, когда и нулю, когда демонстрируя, что фотон 2 поляризован под прямым углом к фотону 1, хотя поляризация последнего произвольным образом задается ориентацией поляризатора 1. Таким образом, по-видимому, на результат измерения, связанного с фотоном 2, повлияет ориентация поляризатора в плече 1, даже если во время эксперимента оба фотона заметно удалены. Это и есть парадокс нелокальности.

Однако отсюда не следует, что наблюдатель, расположенный около может влиять на исход измерения, сделанного в регулируя угол поляризатора 1. Это происходит из-за того, что установка угла поляризатора вообще-то не обеспечивает поляризацию фотона в плече 1, за исключением особого случая, когда фотон 1 исходит из поляризатора

Совместная вероятность того, что фотон 2 появится из поляризатора а фотон 1 появится из поляризатора задается выражением (12.4.5) при Если через обозначить появление фотона на выходе поляризатора, а через обозначить его отсутствие на выходе, то, поскольку вторую вероятность можно получить из первой путем добавления к значения имеем

Аналогичным образом находим, что совместная вероятность появления фотона 2 на выходе и отсутствия фотона 1 на выходе имеет вид

Данный результат можно получить из (12.14.7) простым добавлением

Теперь понятно, что фиксация угла поляризатора 1 не обеспечивает ни исхода ни исхода Вероятность того, что фотон 2 появится на выходе поляризатора 2, когда поляризатор 1 установлен под углом находим, складывая С учетом (12.14.7) и (12.14.8) она записывается в виде

Так как этот результат не зависит от то из этого следует, что установка угла поляризатора 1 никоим образом не влияет на исход измерения в плече 2. Таким образом, несмотря на нелокальность системы, причинность сохраняется.

Чтобы показать, что такие квантово-механические предсказания не совместимы с локальной вероятностной теорией измерения, содержащей скрытые параметры, мы выведем ниже одно из так называемых неравенств Белла (Bell, 1964, 1966; Bohm and Aharonov, 1957; Clauser, Home, Shimony and Holt, 1969; Clauser and Home, 1974; Clauser and Shimony, 1978), которому такая теория должна удовлетворять.