3.1.3. Соотношения между корреляционными функциями действительного и связанного с ним комплексного аналитических случайных процессов

Выведем ряд полезных соотношений для функций взаимной корреляции действительных случайных процессов, сопряженных процессов и связанных с ними комплексных аналитических процессов.

Пусть представляют собой два действительных совместно стационарных, в широком смысле, случайных процесса с нулевым средним и пусть и представляют собой связанные с ними аналитические сигналы. Поскольку выборочные функции стационарного случайного процесса не являются квадратично интегрируемыми (см. разд. 2.4), переход от следует интерпретировать с некоторым предостережением. Во избежание математической сложности будем формально определять аналитические сигналы тем же способом, как это делалось в разд. 3.1.1; однако точный вывод формул может быть получен только в рамках теории обобщенных функций. Таким образом, если записать

то

где

Более того,

где действительные функции, которые связаны преобразованиями Гильберта [см. (3.1.13)]. Так как по предположению имеет нулевое среднее, т.е.

представляют собой однородные линейные преобразования то они также имеют нулевые средние, т.е.

Так же, как и процессы являются стационарными, по крайней мере, в широком смысле.

Теперь рассмотрим функцию взаимной корреляции

двух комплексных процессов. Согласно обобщенной теореме Винера — Хинчина [см. (2.4.38)]

где взаимная спектральная плотность двух процессов, определяемая формулой

Согласно при следовательно, уравнение (3.1.63) означает, что

Следовательно, уравнение (3.1.62) можно записать в виде

Поскольку интегрирование в правой части распространяется только на положительные частоты, то аналитический сигнал. Если предположить, что является квадратично интегрируемой функцией от и использовать основное свойство аналитических сигналов (3.1.13), то получаем следующую теорему:

Теорема I: Если представляют собой комплексные аналитические сигналы двух действительных, совместно стационарных, в широком смысле, случайных процессов с нулевыми средними, то функция взаимной корреляции (предполагаемая квадратично интегрируемой) также представляет собой аналитический сигнал, его действительная и мнимая части, связаны прямым и обратным преобразованиями Гильберта, т.е.

Чтобы получить другую полезную теорему относительно рассмотрим функцию взаимной корреляции

где

Согласно выражениям (3.1.55) и (3.1.56) легко видеть, что функция имеет представление Фурье

где

Функция взаимной спектральной плотности двух сигналов определяется формулой [см. (2.4.35)]

Согласно равна нулю для всех положительных частот, тогда как, в соответствии с равна нулю для всех отрицательных частот. Из (3.1.71) следует, что

Далее, согласно обобщенной теореме Винера — Хинчина [см. (2.4.38)] функция взаимной корреляции (3.1.67) имеет представление Фурье

и, с учетом (3.1.72), мы видим, что

Таким образом, мы доказали следующую теорему. Теорема II: При тех же условиях, что и в Теореме I,

для всех значений

Из теорем I и II вытекают другие интересные результаты. Подставляя (3.1.57) в (3.1.75) и приравнивая действительные и мнимые части, получим следующую теорему:

Теорема III: Если два действительных, совместно стационарных, в широком смысле, случайных процесса с нулевыми средними, и соответствующие сопряженные процессы (т.е. результаты преобразований Гильберта), то

В случае мы имеем положив и опустив индексы, из (3.1.76) получим

Так как согласно формулам (3.1.58) и (3.1.59) имеем выражения (3.1.77) означают, что:

Теорема IV: Дисперсия действительного, стационарного, в широком смысле, случайного процесса с нулевым средним равна дисперсии сопряженного процесса и в каждый момент времени два процесса некоррелированы.

Используя (3.1.57), выразим комплексную функцию взаимной корреляции через действительные процессы Если воспользоваться также соотношениями (3.1.76), то получим формулу

Если, как и раньше, обозначить действительные и мнимые части через соответственно, и приравнять в (3.1.78) действительные и мнимые части, то получим

Теорема V: При тех же условиях, что и в Теореме III, действительная и мнимая части функции взаимной корреляции комплексных аналитических сигналов связанных с действительными сигналами определяются формулами

Рис. 3.6. Иллюстрация соотношения между корреляционными функциями действительного квазимонохроматического сигнала и связанного с ним комплексного аналитического сигнала

Из этой теоремы и Теоремы I вытекает интересное следствие для квази-монохроматического, стационарного, в широком смысле, действительного случайного процесса Спектр мощности такого процесса сосредоточен в спектральной области, ширина которой мала по сравнению со средней частотой. Теперь, в соответствии с (3.1.79а) и Теоремой где автокорреляционная функция аналитического сигнала связанного с снова означает действительную часть. Из разд. 3.1.2 мы знаем, что представляет собой комплексную огибающую следовательно, в соответствии с (3.1.79а), также является комплексной огибающей Общее поведение действительной автокорреляционной функции показано на рис. 3.6. Ясно, что эффективная ширина представляет собой меру времени корреляции действительного процесса а именно, временной интервал на котором коррелированы. В оптике, где обычно флуктуирующее действительное поле, это время корреляции называют временем когерентности поля. Позже будет дано более точное определение (см. разд. 4.3.3).