4.4.5. Распространение корреляций от первичных источников

В предыдущих разделах мы рассматривали распространение корреляций второго порядка в свободном пространстве, не уделяя внимания тому, каким образом изначально создавалось флуктуирующее поле. Флуктуации поля, безусловно, являются следствием того, что механизм излучения поля источниками никогда не является строго детерминированным и может быть описан только статистически. Выясним, каким образом корреляции поля связаны с корреляциями его источника.

Пусть представляет собой реализацию (действительного) флуктуирующего скалярного источника, занимающего в свободном пространстве конечную область поле, излучаемое этим источником. Тогда связаны между собой неоднородным волновым уравнением

Сопоставим аналитические сигналы соответственно. Повторяя в несколько расширенном виде рассуждения, приведшие к (4.4.7), получим, что удовлетворяет неоднородному волновому уравнению

Заменим на на и осуществим комплексное сопряжение уравнения. Это дает

где лапласиан по пространственным координатам точки Заменим теперь в на на Получим

где лапласиан по координатам точки Перемножая, соответственно, левые и правые части уравнений (4.4.53) и (4.4.54), находим

Взяв среднее от обеих частей выражения (4.4.55) по ансамблю источника, получаем

где

Мы видим, что корреляционные функции поля и источника связаны между собой дифференциальным уравнением четвертого порядка.

Предположим, что статистический ансамбль, характеризующий флуктуации источника, стационарен, по крайней мере в широком смысле. В этом случае корреляционная функция источника будет зависеть от двух своих временных аргументов только через их разность это также справедливо для корреляционной функции поля, поскольку соотношение между переменной поля V и переменной источника согласно (4.4.52) является линейным. Таким образом, можно записать

Функция разумеется, является функцией взаимной когерентности поля, которую мы до сих пор обозначали как где Оба оператора в правой части (4.4.56) можно заменить на Следовательно, если источник стационарен, по крайней мере, в широком смысле, корреляционные функции второго порядка поля и источника связаны между собой дифференциальным уравнением четвертого порядка следующего вида

Выразим через взаимные спектральные плотности поля и источника с помощью преобразований Фурье:

Подставляя (4.4.62) в (4.4.61) и изменяя порядок операций дифференцирования и интегрирования, получим следующее дифференциальное уравнение четвертого порядка для двух функций взаимной спектральной плотности:

где

— волновое число, соответствующее частоте

Уравнение (4.4.61), или (4.4.63), может служить исходной точкой при изучении свойств полей, излучаемых стационарными первичными источниками с любой степенью когерентности. Эти задачи будут рассмотрены нами в разд. 5.2, а в этом разделе мы получим формулу, которая нам понадобится в дальнейшем. Эта формула дает точное решение уравнения (4.4.63) для выраженное через при условии, что источник излучает в свободном пространстве. Решение будет получено в два этапа. Во-первых, перепишем (4.4.63)

и решим полученное уравнение относительно при фиксированном Хорошо известно, что решение такого волнового уравнения имеет вид (см., например, Papas, 1965, разд. 2.1)

где (см. рис. 4.14)

и интегрирование осуществляется по всей области источника Уравнение (4.4.66) имеет тот же вид, что и (4.4.65), и мы можем сразу же получить его решение. Однако, необходимо помнить, что входят в определение как комплексно сопряженные величины. Поэтому соответствующая функция Грина будет иметь вид в отличие от В итоге искомое решение уравнения (4.4.63) имеет вид

где

Рис. 4.14. Условные обозначения, используемые в выражениях

Соответствующее решение уравнения (4.4.61) можно получить аналогичным путем, записывая решение однородного волнового уравнения с помощью хорошо известной запаздывающей функции Грина. Или же можно поступить еще проще: осуществить фурье-преобразование выражения (4.4.68) и воспользоваться формулами (4.4.62). В результате получим