12.8.5. Изотропность

Понятие статистической изотропности имеет то же отношение к пространственным поворотам, как понятие статистической однородности к пространственным смещениям. С наиболее общей точки зрения, в изотропном поле средние полевых операторов не изменяются при повороте относительно некоторой точки. Центром изотропности может служить одна преимущественная точка в пространстве, точно так же, как может существовать преимущественное направление в однородном поле. Однако, если поле однородно, то оно с необходимостью является изотропным во всех точках пространства, если оно изотропно в одной.

Рис. 12.4. Иллюстрация понятия изотропности поля в окрестности точки

Сделаем наши рассуждения немного более количественными. Если поле изотропно относительно точки то ожидаемое значение любого полевого вектора в точке пространства, получаемой вращением радиус-вектора относительно равно результату такого же вращения, применяемого к ожиданию вектора в точке (см. рис. 12.4). Если представляет матрицу поворота, которая выполняет желаемый поворот вокруг то мы можем выразить это, записывая

или

В более общем виде, если корреляционный тензор порядка то поле изотропно, когда

Временные аргументы здесь опускаются, поскольку они здесь не играют значимой роли.

Для того, чтобы трансформировать это условие симметрии в условие на оператор плотности поля нам необходим, как и прежде, генератор вращения относительно Можно показать (Simmons and Guttmann, 1970; Lenstra and Mandel, 1982), что требуемым оператором является общий угловой момент Для того чтобы показать это, начнем со следующего коммутационного соотношения (Lenstra and Mandel, 1982) (которое мы не будем доказывать) между положительно-частотной частью любого полевого вектора и общим угловым моментом

Совершим бесконечно малое унитарное преобразование над векторным оператором

где является малым векторным углом поворота. Тогда в первом порядке по имеем

и, с помощью (12.8.39), после осуществления циклической перестановки индексов в последнем члене получаем

В первом порядке по 66 это выражение может быть записано как векторное соотношение, включающее одновременное вращение и координаты связанной с

Символически это можно выразить в виде

если мы связываем с поворотом 8в вокруг Из этого следует, что является генератором поворота относительно в соответствии с теми же рассуждениями, которые использовались для вывода (12.8.12), это налагает условие на оператор плотности Например, из (12.8.6) условие (12.8.38) изотропности требует, чтобы коммутировал с оператором плотности, т.е.

Смысл изотропности и полученного условия для не являются настолько интуитивно очевидными, как смысл условий стационарности и однородности, с которыми мы встретились ранее. Поэтому здесь мы не будем заниматься этим вопросом. Однако в следующей главе мы встретимся с примером поля излучения (излучение черного тела), которое является одновременно стационарным, однородным и изотропным во всех точках пространства.