12.14.3. Форма Клаузера — Хорна неравенства Белла

В очередной раз рассмотрим экспериментальную ситуацию, изображенную на рис. 12.10. Источник испускает два фотона в двух различных направлениях, обозначенных через 1 и 2, эти фотоны попадают на поляризаторы, имеющие вид призмы Волластона, которые разделяют падающий свет на два ортогонально поляризованных пучка. Предположим, что сумма вероятностей появления падающего фотона у одного или другого выхода каждого поляризатора равна единице, и таким образом, в системе отсутствует поглощение. Составляющая, линейно поляризованная в определенном направлении проходит через призму Волластона и попадает на детектор То же и для другого плеча. Предположим, что каждая фотонная пара характеризуется некоторым скрытым параметром значение которого неизвестно, но имеет некоторую плотность вероятности Пусть вероятность того, что фотон в плече достигает детектора когда линейный поляризатор в плече установлен для пропускания под углом поляризации данный скрытый параметр. Предположение о локальности содержится в утверждении, что зависит только от а не от фиксации поляризатора. Пусть есть соответствующая вероятность, когда поляризатор в плече отсутствует. Тогда, поскольку не может зависеть от имеем

Это соотношение иногда называют «предположением о возрастании» (Clauser and Home, 1974), но в данном случае, это требование (Reid and Walls, 1986), обусловленное свойствами поляризатора.

Тогда совместная вероятность детектирования обоими детекторами в случае, когда линейные поляризаторы установлены под углами и когда детекторы не чувствительны к поляризации, получается умножением и суммированием по всем значениям скрытого параметра А и имеет вид

где — квантовые выходы этих двух детекторов, которые считаются независимыми от поляризации, и вновь предполагается достоверная выборка. Аналогично, если означают совместную вероятность детектирования двух фотонов обоими детекторами когда один или другой линейный поляризатор отсутствует, то имеем

Теперь воспользуемся алгебраическим неравенством (Clauser and Home, 1974, прил. А)

которое выполняется для всех . Учитывая соотношение (12.14.19), полагаем

Умножая каждый член неравенства (12.14.22) на выражение интегрируя по всем и используя определения (12.14.20), (12.14.21), мы получаем следующее неравенство Белла в форме Клаузера — Хорна (Clauser and Home, 1974):

Предполагается, что любая реалистическая локальная теория подчиняется этому соотношению, которое содержит только непосредственно измеряемые величины. Поскольку каждый член этого выражения пропорционален можно поделить его на и получить выражение, которое не зависит от квантовых выходов детекторов.

Теперь покажем, что квантово-механические уравнения (12.14.4) и (12.14.5) нарушают это неравенство. Для этой цели вновь полагаем углы равными

и воспользуемся (12.14.4) и (12.14.5) для вычисления вероятностей. Тогда при 5, определяемым выражением (12.14.24), получаем

Это выражение является положительным и, очевидно, нарушает неравенство (12.14.24).