11.5. Эволюция во времени и соотношения неопределенностей

В картине Шредингера любое состояние эволюционирует во времени по закону

где оператор эволюции во времени. Если является собственным состоянием гамильтониана то оператор эволюции можно заменить простым фазовым множителем, и состояние квантовой системы не будет меняться. В общем случае, однако, система эволюционирует со временем в различные состояния. Пусть начальное состояние представляет собой когерентное состояние Поскольку последнее не является собственным состоянием гамильтониана следует ожидать, что система перейдет со временем в другие состояния. Если воспользоваться явным выражением для гамильтониана (10.3.15) и ограничиться, как и прежде, рассмотрением только одной моды поля, так что то получим

где частота моды. Временная эволюция легче всего рассчитывается с использованием фоковского представления (11.2.9) для и мы находим, что

Данное состояние, с точностью до фазового множителя представляет собой другое когерентное состояние, соответствующее комплексному собственному значению Таким образом, когерентное состояние непрерывно и периодически переходит со временем в другие когерентные состояния, так что цикл повторяется с интервалом

Рассмотрим теперь зависимость от времени средних значений некоторых простых полевых операторов в случае, когда поле находится в когерентном состоянии. Здесь обычно удобнее работать в картине Гейзенберга. Таким образом, с учетом формулы (10.3.12) и определяющего соотношения (11.2.1), которое, как мы будем полагать, справедливо в момент времени найдем

Этот результат, конечно, можно было получить, анализируя выражение (11.5.2). Аналогичным образом находим среднее значение оператора рождения

Объединяя два этих результата и используя выражения (10.3.7) и (10.3.8) для канонически сопряженных операторов можно также записать средние значения операторов в когерентном состоянии. Стоит отметить, что эти операторы являются аналогами канонически сопряженных переменных для одномодового электромагнитного поля. Таким образом, находим

Эти результаты напоминают движение классического гармонического осциллятора частоты и, имеющего точно определенную комплексную амплитуду Более того, в силу соотношений (11.2.1) и (11.2.2) дисперсии обращаются в нуль в когерентном состоянии. Таким образом, кажется, что поле, находящееся в когерентном состоянии ведет себя, как классическая волна с определенной амплитудой и фазой, и что а является оператором комплексной амплитуды.