14.8. Статистика фотоэлектрического счета

Пока мы занимались только дифференциальными вероятностями фотоэлектрического детектирования за различные короткие временные промежутки Однако интервал нельзя считать подлинно бесконечно малым, поскольку он предполагался длинным по сравнению с оптическим периодом, но при этом достаточно коротким, чтобы дифференциальная вероятность была много меньше единицы. На практике измерения часто проводятся в течение конечного временного промежутка, скажем, от до и, таким образом, существует отличная от нуля вероятность того, что в течение интервала произойдет детектирований. Ниже мы обратимся к процедуре вычисления этой интегральной вероятности счета для открытой системы.

На первый взгляд может показаться, что предыдущие результаты неприменимы к данной ситуации, так как они были получены методами теории возмущений на коротких временах. Однако уже небольшие рассуждения покажут, что когда луч света падает на фотодетектор, каждый элемент оптического поля взаимодействует локально с детектором, причем, как правило, в течение очень короткого времени, а не всего времени измерения Более того, поскольку время отклика детектора очень короткое, а энергия электронного состояния по истечении времени взаимодействия является вполне определенной, то по прошествии времени каждый электрон является либо свободным, либо все еще связанным. Следовательно, мы можем считать, что измерение в течение конечного интервала времени эквивалентно большому числу последовательных измерений, каждое из которых происходит за короткий временной интервал Таким образом, полученные результаты для дифференциальной вероятности детектирования должны быть применимы. Отметим, что данная ситуация была бы другой для случая замкнутой системы, который мы здесь не рассматриваем.

Начнем с разделения интервала времени на коротких интервалов с длительностью обозначенных, соответственно, через Пусть обозначает совместную вероятность совершения детектирований в временных интервалах которая задается выражением

в соответствии с (14.5.3). Для упрощения обозначений мы опустили координатный индекс для интенсивности Кроме того, необходимо будет воспользоваться вероятностью того, что n детектирований произойдут за временные интервалы при отсутствии детектирований за интервалы которая может быть вычислена, если воспользоваться принципом унитарности для вероятностей. Например, суммируя совместную вероятность одного детектирования в и нуля, одного, двух и т.д. детектирований в приходим к формуле для Таким образом,

так что

В более общем случае можно показать исходя из аналогичных рассуждений, что выражение для совместной вероятности содержит множитель вида для каждого интервала при котором детектирование имеет место, и множитель, равный для каждого интервала в котором не происходит никакого детектирования. Следовательно, вероятность того, что произойдет ровно детектирований в интервалах задается выражением

14.8.1. Интегральная вероятность детектирования

Теперь можно воспользоваться выражением (14.8.3) для определения интегральной вероятности счета суммируя по всем возможным временам, когда может произойти и устремляя Но если мы считаем, что каждый индекс изменятся от 1 до то вероятность каждого детектирования повторяется в сумме раз. Таким образом, для того, чтобы получить вероятность нам необходимо разделить на а именно,

В последнем уравнении мы поменяли местами порядок суммирования и усреднения и упростили в конце произведение тем, что вставили множителей для которые отсутствуют в (14.8.3). Это допустимо, поскольку каждый из этих множителей стремится к единице при таким образом, не влияет на результат. Нет необходимости особенно подчеркивать, что такое рассуждение нельзя применять ко всем множителям, так как число их для данного стремится к бесконечности при Теперь множитель при произведении в (14.8.4) может быть выражен следующим образом:

После подстановки (14.8.5) в (14.8.4) и пренебрежения членами порядка или ниже, мы получаем формулу

При суммы превращаются в интегралы по времени, так что

Таким образом, окончательно, имеем

откуда видно, что вероятность фотоэлектрического счета задается средним значением определенного распределения Пуассона. Хотя, строго говоря, всегда должно быть значительно больше оптического периода, на практике предел , тем не менее, дает хорошие результаты.

В тех случаях, когда временное упорядочение не является важным, как, например, в случае свободного поля, полученное выражение можно записать в другом виде с помощью оптической теоремы эквивалентности (11.9.4) для нормально упорядоченных операторов. Тогда имеем

где представляет собой весовой функционал или диагональное представление оператора плотности поля по когерентным состояниям (или -представление), а

есть с-числовая интегральная интенсивность, которая получается из заменой операторов рождения и уничтожения их левыми и правыми собственными значениями. Этот результат записывается следующим образом:

где

можно рассматривать как «плотность вероятности» случайной переменной Но так как не всегда является истинной плотностью вероятности, то таковой не всегда является и несмотря на то, что она надлежащим образом нормируется на единицу.

Выражение (14.8.9) впервые было получено из полуклассического анализа (Mandel, 1958, 1959, 1963а) и оно действительно внешне совпадает с (9.7.3), которое было получено без использования квантования поля. Позднее формула была получена более строго для случая квантованного поля (Kelley and Kleiner, 1964; Glauber, 1965, с. 181). Однако следует подчеркнуть, что, несмотря на формальное сходство (9.7.3) и (14.8.9), эти выражения не являются полностью идентичными, поскольку в (9.7.3) — это плотность вероятности, тогда как существуют состояния, не имеющие классических аналогов, для которых в (14.8.9) не является истинной плотностью вероятности. Кроме того, необходимо отметить, что поскольку наш вывод основывался на использовании дифференциальной вероятности (14.8.1), выражения для применимы к ситуациям, в которых электромагнитное поле взаимодействует с детектором в течение короткого времени, а непоглощенные фотоны выходят из системы, то есть эти выражения применимы для открытой системы. Это отражает типичную экспериментальную ситуацию, когда световой пучок падает на детектор. Различные формы не применимы к замкнутой системе, например, к системе, в которой электромагнитное поле и детектор заключены в резонаторе. В таком случае, свет непрерывно взаимодействует с детектором, и интенсивность поля со временем спадает до нуля в результате измерения. Эта ситуация рассмотрена в работах (Mollow, 1969; Srinivas and Davis, 1981). Важно не путать эти два случая (Mandel, 1981).

Интересно сравнить выражение (14.8.8а) для вероятности фотоэлектрического счета с выражением (12.10.8) для вероятности для фотонов в квантовом поле, а именно,

представляет собой интенсивность света, проинтегрированную по всему пространству. Сходство этих двух выражений неизбежно наводит на мысль, что статистика фотоэлектрических детектирований отражает статистику фотонов. Действительно, можно рассматривать определяемую выражением (14.8.86), как -кратный объемный интеграл, который берется по цилиндру с высотой в основании которого лежит область фотокатода площадью Поскольку также является плотностью фотонов, видно, что представляет собой среднее число фотонов в цилиндрическом объеме, когда состояние поля является когерентным состоянием

Когда временной интервал счета существенно короче времени корреляции или обратной ширины частотной полосы света, формулу (14.8.86) можно, в определенной степени, упростить, поскольку слишком мал, чтобы под знаком интеграла изменялось значительно. Таким образом, можно вынести из-под интеграла по времени и положить

Это дает нам возможность преобразовать (14.8.9), записывая

где

Таким образом, вероятность определена в том случае, когда известна «плотность вероятности» мгновенной интенсивности света хотя вновь подчеркнем, что для определенных состояний поля не будет иметь характер истинной плотности вероятности.

За последние годы изучение статистики фотоэлектрического счета привело к важному применению его в качестве метода исследования природы некоторых типов оптических полей и проверки таких теорий, как, например, теория лазеров. Этот вопрос детально обсуждался в работах (Arecchi, 1969; Mehta, 1970; Perina, 1970; Saleh, 1978; Teich and Saleh, 1988). Далее мы рассмотрим несколько примеров использования формулы (14.8.8) или (14.8.9). Мы узнаем, что несмотря на формальную пуассоновскую структуру выражений для при определенных состояниях поля эта вероятность может сильно отличаться от пуассоновской.