17.3.2. Обобщенное основное кинетическое уравнение Цванцига

Помимо основного кинетического уравнения Паули, справедливого в ограниченных случаях и описывающего только поведение диагональных элементов оператора плотности были получены более общие уравнения движения для Мы кратко опишем интересный метод, развитый Цванцигом в котором используются проекционные операторы, проецирующие оператор плотности на ту его часть, которая представляет для нас интерес. Далее будем следовать выводу, предложенному Агарвалом

Будем исходить из общего уравнения движения Шредингера для оператора плотности системы

где оператор Лиувилля системы. Преимущество лиувиллевской формы состоит в том, что уравнение движения (17.3.9) применимо также и к классической системе, имеющей некоторую

плотность распределения В картине взаимодействия оператор в (17.3.9) можно заменить гамильтонианом взаимодействия но тогда оператор Лиувилля становится зависящим от времени. Введем независящий от времени проекционный оператор Р:

который выбирается так, чтобы проектировать на наиболее подходящую или интересующую нас часть оператора Тогда представляет собой неинтересную для нас часть оператора плотности и, очевидно,

Оператор может иметь различные формы. Например, если нас интересует диагональная часть в некотором представлении то можно выбрать

Тогда, если то

С другой стороны, если мы рассматриваем квантовую систему 5, взаимодействующую с резервуаром и если нас интересует, главным образом, система то можно сосредоточиться на приведенном операторе плотности выбирая

Умножая обе части уравнения (17.3.9) на слева и подставляя вместо в правой части выражение (17.3.11), получаем

Таким же образом, после умножения (17.3.9) на слева получим

Теперь формально проинтегрируем дифференциальное уравнение первого порядка (17.3.15) и решим относительно Это даст следующий результат:

или, после замены

Подставляя в уравнение (17.3.14) получим

или, полагая

Это и есть обобщенное основное кинетическое уравнение Цванцига. В данной форме оно является точным, но малопригодным для практического использования. Его полезность основана частично на том, что оно является уравнением движения для в котором "не относящаяся к делу" часть присутствует только в начальный момент времени Иногда начальные условия таковы, что и второе слагаемое в правой части уравнения исчезает.