8.2. Пространственно-временные корреляционные функции произвольного порядка

Для начала вспомним определение (4.3.6) корреляционной функции второго порядка флуктуирующего скалярного волнового поля, представленного аналитическим сигналом а именно,

где угловые скобки обозначают усреднение по ансамблю. В более явной форме

где плотность совместной вероятности флуктуирующего поля в двух пространственно-временных точках Хотя, как мы видели в предыдущих разделах, эта функция очень полезна для

анализа различных когерентных явлений, она не может, вообще говоря, дать какую-либо информацию об эффектах, которые используют плотности вероятности третьего и более высокого порядков (разд. 2.1.2).

Одними из наиболее важных величин, которые необходимы для объяснения когерентных явлений, зависящих от плотностей вероятности порядка выше, чем второй, являются корреляционные функции

или, в более явной форме

Мы будем называть функцией взаимной корреляции (пространственно-временной) порядка случайного поля По причинам, которые будут ясны позднее, корреляционные функции, для которых наиболее полезны. Их часто называют корреляционными функциями порядка Эта терминология находится в согласии с той, которая использовалась в предыдущих разделах этой книги, но не является универсальной; некоторые авторы называют корреляционной функцией порядка а не

Для упрощения обозначений мы положим

Тогда формула (8.2.3) может быть переписана как

Отметим ряд свойств этих корреляционных функций. Во-первых, из определения мы сразу же видим, что

Далее легко показать с помощью неравенства Шварца, что

Выражения в правой части неравенства (8.2.8) имеют простой смысл. Это можно показать, полагая в выражении (8.2.6). Тогда

где

— мгновенная интенсивность в пространственно-временной точке

Корреляционная функция (8.2.6) удовлетворяет условиям неотрицательной определенности, которые могут быть выведены следующим образом. Рассмотрим выражение

где произвольное положительное целое число, произвольные пространственно-временные точки, и а — произвольные (действительные или комплексные) константы. Так как очевидно, что то

Когда поле стационарно, все корреляционные функции конечно, инвариантны по отношению к переносу начала отсчета времени. Тогда они зависят только от временных аргументов, которые мы можем выбрать в виде

До сих пор наше рассмотрение ограничивалось скалярными полями. Для векторного поля такого, как электрическое или магнитное поле, аналогичные пространственно-временные корреляционные функции будут представлять собой тензоры

где индексы обозначают декартовы компоненты векторного поля Дальнейшее обобщение на электромагнитное поле, которое мы не будем обсуждать, будет включать в себя декартовы компоненты как электрического, так и магнитного полей в выражении типа того, что появляется в правой части (8.2.14). Мы встречались с такого рода корреляционными тензорами второго порядка в разд. 6.5.

На практике корреляционные функции с иногда называемые корреляционными функциями четного порядка, более важны, чем корреляционные функции «нечетного порядка», для которых Это происходит потому, что флуктуирующее поле часто ведет себя как гауссовский случайный процесс, а для такого процесса корреляционные функции нечетного порядка все равны нулю Более того, как будет показано в следующем разделе, когда поле квазимонохроматично и статистический ансамбль, который характеризует флуктуации, стационарен, но не обязательно является гауссовским, корреляции нечетного порядка равны нулю, за исключением очень больших значений индексов порядка