3.3.2. Метод стационарной фазы для однократных интегралов

Рассмотрим интеграл вида

где действительные регулярные функции действительной переменной действительные константы. Без потери общности можно предположить, что к является положительным. В физических приложениях часто представляет собой совокупное действие волн с амплитудами и фазами имеющих одинаковые волновые числа k.

Чтобы получить представление о поведении интеграла (3.3.4) как функции к, рассмотрим простой пример. Возьмем

и рассмотрим действительную часть (обозначаемую как интеграла:

Исследуем поведение подынтегрального выражения

в формуле (3.3.6) при разных значениях k. При заданном к функция будет осциллировать между и —1 со скоростью осцилляций, зависящей от k. Поскольку при заданном к нули функции определяются выражением

ясно, что если брать все большие и большие значения к, то будет осциллировать все быстрее и быстрее (см. рис. 3.16).

Откажемся от допущения, что но оставим условие Тогда вместо (3.3.6) будем иметь интеграл

Наличие множителя приводит к «амплитудной модуляции» косинуса. Но очевидно, что независимо от точного вида при достаточно больших к подынтегральное выражение в правой части (3.3.8) вновь будет осциллировать очень быстро и, следовательно, положительные и отрицательных вклады в подынтегральном выражении будут взаимно уничтожаться. Более того, можно ожидать, что это будет происходить независимо от того, какая используется функция (в нашем примере Однако, при достаточно больших к взаимное уничтожение не будет полным в окрестностях точек, где стационарна внутри интервала интегрирования, т.е. где

(в рассмотренных выше примерах начало координат и точно также в граничных точках

Эти особые точки называют критическими точками подынтегрального выражения (3.3.4). Говорят, что те точки, которые удовлетворяют (3.3.9), являются критическими точками первого рода, а граничные точки (3.3.10) называют критическими точками второго рода. Конечно, в особых случаях, когда некоторые критические точки могут совпадать с одной или с двумя граничными точками, они представляют собой стационарные точки Другая сложность может возникнуть, например, когда функции сингулярны. Однако, исключая эти более сложные ситуации, можно показать, что асимптотическое поведение интеграла вида (3.3.4) при к полностью определяется поведением подынтегрального выражения в критических точках и, более того, главный член в асимптотическом разложении часто зависит от критических точек первого рода, т.е. от внутренних точек области интегрирования, в которых стационарно. Этот факт представляет собой сущность принципа стационарной фазы.

В задачах волновой теории, отсутствие вкладов от всей области интегрирования, за исключением вкладов от критических точек, может приводить к появлению нежелательной интерференции. Фактически метод стационарной фазы был первоначально предложен в связи с задачами, в которых исследовались волны на поверхности воды (в 1887 В. Томсоном, который позже стал лордом Кельвином). Следует сопоставить этот метод с другим хорошо известным асимптотическим методом, а именно, с методом наибыстрейшего спуска, (см., например, разд. Несмотря на то, что метод наибыстрейшего спуска формально похож на метод стационарной фазы, он имеет совершенно другой физический смысл, а именно, в контексте теории поля его можно рассматривать в терминах затухания амплитуд, а не в терминах интерференции фаз. С математической точки зрения, также имеются существенные отличия между этими двумя методами, потому что метод наибыстрейшего спуска использует аналитические свойства функций которые рассматриваются как функции комплексного, а не действительного переменного, тогда как метод стационарной фазы можно разработать только в рамках функций действительного переменного. По этой причине метод стационарной фазы, в отличие от метода наибыстрейшего спуска, можно легко распространить на двумерные интегралы (см. разд. 3.3.3). Более того, в отличие от метода стационарной фазы, метод наибыстрейшего спуска нельзя использовать в случае, когда интеграл имеет конечные пределы.

Рис. 3.16. Иллюстрация принципа стационарной фазы. Сравнение поведения функций:

Теперь мы будем использовать принцип стационарной фазы для определения асимптотического поведения интеграла (3.3.4) при больших k. Наш вывод будет эвристическим, но его результаты можно проверить на основе точного анализа. (См., например, van der Corput, 1934-1935, 1936; Focke, 1954; Erdelyi 1955, разд. 2.9; Braun, 1956).

(а) Вклад критических точек первого рода

Допустим, что в интеграле непрерывная функция, а дважды непрерывно-дифференцируемая функция в интервале Предположим сначала, что существует одна и только одна критическая точка первого рода, т.е. что существует только одна точка в интервале, на котором

где штрих означает дифференцирование по х. Предположим также, что вторая производная от не равна нулю в точке

Тогда в точках х окрестности

Так как согласно принципу стационарной фазы вклад в асимптотическое приближение интегралов при больших к дают точки в окрестности то из (3.3.4) и (3.3.13) имеем

По той же самой причине можно расширить область интегрирования от к тогда получим

Если перейти от переменной интегрирования и воспользоваться симметрией подынтегрального выражения, то формула (3.3.15) принимает вид

Интеграл в правой части представляет собой хорошо известный интеграл Френеля, значение которого (Gradshteyn and Ryzhik, 1980, 395, 3.691 1)

где верхний и нижний знаки соответствуют учетом этого результата выражение (3.3.16) принимает вид

где верхний и нижний знаки соответствуют и вместо записали для того, чтобы подчеркнуть, что выражение в правой части (3.3.18) представляет собой вклад критической точки первого рода.

При выводе формулы мы предполагали, что подынтегральное выражение имеет только одну критическую точку первого рода. Если имеется несколько таких точек то говорят, что соответствующее асимптотическое приближение к получено при суммировании вкладов, определяемых выражениями вида (3.3.18), на основе которых мы имеем

где

и предполагается, что

(б) Вклад критических точек второго рода

Далее определим вклады критических точек второго рода, а именно, вклады граничных точек интервала интегрирования. Будем предполагать, что граничные точки являются нестационарными для т.е. что

Перепишем интеграл (3.3.4) в виде

Интегрируя правую сторону по частям, получим формулу

Снова интегрируя по частям, сразу находим, что третий член в правой части (3.3.21) порядка следовательно, по сравнению с двумя другими членами им можно пренебречь. Таким образом, можно заключить, что вклад критических точек второго рода составляет

Предшествующий анализ показывает, что при достаточно больших к

где определяется формулой (3.3.19), формулой (3.3.22). Точный математический анализ показывает, что при допущенных условиях выражения (3.3.19) для и (3.3.22) для действительно представляют собой основные члены вкладов критических точек первого и второго родов, соответственно, в асимптотических разложениях интеграла при В заключение отметим, что поскольку при больших значениях к порядка порядка вклады внутренних стационарных точек, если они существуют, являются более значимыми, нежели вклады граничных точек.