5.4.2. Пример: эквивалентные гауссовские источники модели Шелла

Проиллюстрируем теорему эквивалентности, которую мы только что обсудили, для частного класса источников модели Шелла. Мы напомним, что эти источники характеризуются тем свойством, что спектральная степень когерентности зависит от только через их разность Следовательно, взаимная спектральная плотность источника модели Шелла имеет вид (5.3.15), а именно,

При подстановке (5.4.7) в (5.4.6) находим, что для источника модели Шелла

где

Предположим теперь, что пространственные распределения спектральной плотности и спектральной степени когерентности являются гауссовскими, а именно

где положительные числа. Такой источник мы будем называть гауссовским источником модели Шелла.

Подставляя (5.4.10) в (5.4.9) и вычисляя результирующий интеграл, легко найдем, что

и если подставить выражения (5.4.12) и (5.4.11) в (5.4.8), то найдем, что для гауссовского источника модели Шелла

где

Легко найти, что фурье-образ (5.3.11) выражения (5.4.13) равен

В правой части этой формулы, а также в некоторых последующих формулах мы явно не показываем зависимость некоторых величин от частоты

Из второй формы теоремы эквивалентности, сформулированной после уравнения (5.4.6) и из уравнений (5.4.15) и (5.4.14) следует, что два гауссовских источника модели Шелла, для которых величины

имеют одно и то же значение и произведения

также одинаковы, создают одно и то же распределение для интенсивности излучения.

Интенсивность излучения создаваемая таким вращательно симметричным источником, в направлении, составляющем угол в с нормалью к плоскости источника, получается сразу при замене уравнении (5.4.5) выражением (5.4.15) и при использовании соотношения Тогда находим, что

где

— интенсивность излучения в направлении нормали к плоскости источника

Рис. 5.11. Иллюстрация эффективных размеров лазерного источника а и «эквивалентного» квазиоднородного источника На рис. показана область когерентности квазиоднородного источника (заштрихована) (Wolf, 1978)

Выражение (5.4.16) вместе с (5.4.17) явно показывает, что гауссовские источники модели Шелла, имеющие одинаковые значения параметров и произведений действительно будут создавать одно и то же распределение интенсивности излучения. Зависимость параметра определяемого уравнением (5.4.14), от демонстрирует «обмен» между состоянием когерентности источника (характеризуемого и соответствующим образом нормированным пространственным распределением спектральной плотности (характеризуемой которая лежит в основе теоремы эквивалентности. Этот факт иллюстрируется на рис. 5.11 и 5.12.

Рассмотрим два предельных случая. В квазиоднородном пределе, характеризуемом условием

гауссовский источник модели Шелла становится некогерентным в глобальном смысле, и из (5.4.14) мы видим, что в этом случае

В этом пределе выражение (5.4.16) для интенсивности излучения сводится к (5.3.29).

В другом предельном случае, когда

источник является пространственно когерентным в глобальном смысле, и из формулы (5.4.14) получаем, что

Из выражений (5.4.16), (5.4.17) и (5.4.21) следует, что интенсивность излучения с хорошей степенью точности не зависит от точного значения эффективной корреляционной длины источника.

Рис. 5.12. Спектральная степень когерентности и распределение спектральной плотности для четырех плоских, вторичных, гауссовских источников модели Шелла, которые создают идентичные распределения интенсивности излучения. Кривые на рис. а относятся к полностью (пространственно) когерентному источнику (например, одномодовый лазер), а кривые на рис. к некогерентному источнику. Параметры, характеризующие четыре источника, равны: (в произвольных единицах); Нормированная интенсивность излучения от всех этих источников определяется выражением (5.4.16), а именно, где

Безусловно, предел характеризует гауссовский источник модели Шелла, который является полностью пространственно когерентным на частоте т.е. для которого

Тогда, вместо приближенного соотношения (5.4.21), из (5.4.14) мы имеем точное соотношение Примерами таких источников являются лазеры с плоскими зеркалами, каждый из которых работает на низшей моде. При этом эффекты, связанные с дифракцией на краях зеркал, не учитываются. Перепишем уравнение (5.4.10), соответствующее такому источнику, следующим образом:

где нижний индекс означает, что параметры относятся к лазеру Из теоремы эквивалентности, которую мы уже обсудили, следует, что гауссовские источники модели Шелла, для которых будут создавать такое же угловое распределение интенсивности излучения, как и лазерный источник. Записанное явно первое условие подразумевает согласно (5.4.14), что

откуда

Таким образом, частично когерентный гауссовский источник модели Шелла, который «эквивалентен» полностью когерентному лазерному источнику, должен иметь больший эффективный размер, чем лазер, и

должен быть коррелированным на расстояниях, по крайней мере, вдвое больших эффективных линейных размеров лазерного источника. Источники с меньшими корреляционными длинами являются квазиоднородными источниками, так как тогда, согласно должна быть намного больше На рис. 5.11 для сравнения изображены лазерный источник и «эквивалентный» квазиоднородный источник. Рис. 5.12 показывает степень когерентности и распределение спектральной плотности в плоскости других гауссовских источников модели Шелла, создающих такое же, как и лазер, распределение интенсивности излучения (см., например, Gori and Palma, 1978; De Santis, Gori and Palma, 1979; Gori, 1980a, b).