7.6.2. Рассеяние на детерминированной среде в приближении Борна первого порядка

Если среда линейна, изотропна и немагнитна, основополагающие соотношения имеют вид

где обобщенная диэлектрическая восприимчивость, введенная в разд. 7.5.2.

Мы снова выразим полное поле в виде суммы падающего поля и рассеянного поля Тогда выражение (7.6.7а) для индуцированной поляризации принимает вид

где

Предположим, что рассеивающая среда слабая, в том смысле, что для всех значений ее аргументов поляризация, индуцированная рассеянным полем, много меньше поляризации, индуцированной падающим полем, т.е. что

и также что

В этом случае основные уравнения (7.6.5а) и (7.6.56) сводятся к

где

В уравнениях (7.6.11) фигурирует только электрический вектор Герца, потому что среда предполагалась немагнитной. По этой причине мы опустили индекс Заметим, что из уравнений (7.6.11) следует, что

Уравнения (7.6.11) вместе с уравнением (7.6.12) описывают рассеянное электромагнитное поле с той же степенью точности, какая получается при использовании приближения Борна первого порядка в квантовой теории рассеяния. Если функция обобщенной диэлектрической восприимчивости известна, может быть вычислено из уравнения (7.6.9а), и вектор Герца может быть определен с помощью (7.6.12). Рассеянное поле во всех точках за пределами среды может быть тогда получено из уравнений (7.6.11). Для дальнейшего анализа будет полезно использовать фурье-образы векторов поля, а не сами векторы поля. Мы будем использовать такое же определение фурье-образов, как в уравнении (7.5.1), а именно,

и т.д. Если для под знаком интеграла в уравнении (7.6.14) подставить выражение (7.6.9а), то после прямых вычислений найдем, что

где

Величины являются, конечно, обобщением величин с которыми мы имели дело раньше и (7.5.14)].

Выполняя преобразование Фурье уравнений (7.6.11), мы легко получим следующие выражения для частотных компонент рассеянного поля:

где

— волновое число, связанное с частотой и

Мы сейчас рассмотрим рассеянное поле в точках в дальней зоне рассеивающей среды. Положим

где начало радиус-вектора взято в некоторой точке в рассеивающем объеме и единичный вектор. Когда достаточно велико, мы, очевидно, можем записать (см. рис. 7.7)

следовательно,

Рис. 7.7. Иллюстрация обозначений, относящихся к приближению дальней зоны (7.6.21): характерная точка в области источника точка в дальней зоне

Используя асимптотическое приближение (7.6.22) в (7.6.19), мы получим следующее выражение для вектора Герца П:

где

— трехмерный пространственный фурье-образ В силу того, что является одномерным фурье-образом по времени мы можем выразить непосредственно через в виде

Можно также представить в виде выражения

которое получается, если подставить (7.6.15) в (7.6.24) и положить

Наконец, подставляя (7.6.23) в (7.6.17), замечая, что когда представляет собой точку за пределами рассеивающего объема, можно показать при помощи векторных тождеств, двухвременных функций Грина (Papas, 1965, разд. 2.2), или используя представление волновых полей угловым спектром [Friberg and Wolf, 1983, выражение (4.5)], что в точках дальней зоны