11.12.1. Коммутационные соотношения

Мы видим, что аналитические сигналы, которые так широко использовались при классическом описании оптической когерентности, можно рассматривать как правые и левые собственные значения положительно- и отрицательно-частотных частей полевых операторов, принадлежащие соответствующему когерентному состоянию. Поэтому не удивительно, что обнаруживается довольно близкое соответствие между классическими корреляционными функциями электромагнитного поля, выраженными через аналитические сигналы, и квантовыми корреляционными функциями, выраженными через положительно- и

отрицательно-частотные части операторов поля. Квантовые корреляционные функции будут просто средними значениями произведений операторов и взятых в разных точках пространства-времени. Однако, вследствие некоммутативности операторов и для одного и того же множества операторов можно определить много различных корреляционных функций.

Коммутатор операторов и легко вычисляется с помощью коммутационного соотношения (10.3.9). Из разложения (11.12.2) получаем

где мы воспользовались тензорным соотношением (10.8.2) и правилом (10.8.4) для замены суммы на интеграл. Конечно, в случае свободного поля различные операторы коммутируют между собой, в силу коммутирования операторов То же самое относится и к операторам