5.8. Влияние пространственной когерентности источника на спектр излучаемых полей

В разд. 5.2 и 5.3 мы рассмотрели излучение от источников, находящихся в любом состоянии когерентности, и узнали, как свойства когерентности источника влияют на пространственное распределение излучаемой энергии на любой частоте. В этом разделе мы рассмотрим как когерентные свойства источника влияют на спектральное распределение энергии (рассматриваемое как функция частоты), т.е. какое они оказывают влияние на спектр испускаемого излучения. Оказывается, что изменение состояния

пространственной когерентности может привести к заметным изменениям спектра излучаемого поля. Мы начнем с рассмотрения очень простого примера, иллюстрирующего сущность этого явления.

5.8.1. Спектр поля, создаваемого двумя частично коррелированными источниками

Рассмотрим поле, создаваемое двумя флуктуирующими источниками, расположенными в точках и Пусть будут статистически стационарными ансамблями, которые представляют собой флуктуации источника, и пусть будет ансамблем, который описывает поле, создаваемое источниками в точке Если источники достаточно малы, то каждую реализацию можно выразить в виде

где расстояния соответственно, с — скорость света в вакууме. Спектр поля в точке определяется выражением

в котором, как обычно, угловые скобки означают среднее по ансамблю. При подстановке (5.8.1) в (5.8.2) мы легко находим, что

Рис. 5.31. Обозначения к определению спектра поля в точке создаваемого двумя малыми источниками, расположенных в точках с идентичными спектрами

Здесь

— спектр, который по предположению является одним и тем же для каждого источника,

— взаимная спектральная плотность двух источников, а означает комплексное сопряжение.

Введем степень корреляции двух источников по формуле

[см. (4.3.476)]. При подстановке (5.8.6) для в (5.8.3) мы находим, что

Ради простоты выберем точку поля таким образом, чтобы она находилась на биссектрисе, которая перпендикулярна линии, соединяющей точки и Тогда (скажем, ), и формула (5.8.7) сводится к

где означает действительную часть.

Из (5.8.8) мы видим, что в частном случае, когда для всех частот в спектре источника когда два источника некоррелированы, спектр поля пропорционален спектру источника Однако, в общем случае два спектра не будут пропорциональными друг другу из-за наличия в выражении (5.8.8) степени корреляции Более того, как можно сразу видеть из (5.8.7), спектр поля в разных точках пространства будет, вообще говоря, разным. Этот простой пример ясно показывает, что корреляции источника могут видоизменять нетривиальным образом спектр испускаемого поля.

Видоизмененный спектр поля может принимать различные формы, в зависимости от природы частотной зависимости коэффициента корреляции Рассмотрим для примера ситуацию, когда

где положительные константы. Для того, чтобы выражение (5.8.9) имело смысл коэффициента корреляции, оно должно удовлетворять неравенству которое означает, что а 2.

Предположим также, что спектр каждого из двух источников состоит из одной спектральной линии, имеющей гауссовский профиль:

где также положительные константы.

При подстановке (5.8.9) и (5.8.10) в формулу (5.8.8) мы получим следующее выражение для спектра поля в точке Р:

Прямым вычислением, которое проще всего выполнить при использовании так называемой теоремы произведения для гауссовских функций (см. прил. 5.2), можно показать, что это выражение можно переписать в виде

где

Уравнение показывает, что спектр поля в точке состоит из одной спектральной линии с гауссовским профилем. Однако, в общем случае эта линия центрирована не относительно частоты спектра источника а относительно частоты определяемой из уравнения (5.8.14).

Если бы два источника были некоррелироваными то согласно уравнениям (5.8.8) и (5.8.10) мы имели бы

При сравнении этого выражения с (5.8.12) мы видим, что несмотря на то, что обе линии имеют гауссовские профили, они отличаются друг от друга. Поскольку согласно спектральная линия поля, создаваемого коррелированными источниками, является более узкой, чем спектральная линия от некоррелированных источников. Более того, мы можем легко вывести из (5.8.14), что также, как и о- Следовательно, если спектральная линия (5.8.12) поля центрируется относительно более низкой частоты по сравнению со спектральной линией (5.8.16) от двух некоррелированных источников, или, как говорят, она испытывает красное смещение; а если спектральная линия (5.8.12) центрируется относительно более высокой частоты, и тогда говорят, что она испытывает синее смещение. Эти результаты проиллюстрированы на рис. 5.32. На рис. 5.33 и рис. 5.34 показаны примеры других видов спектральных изменений, создаваемых соответствующими корреляциями источника, (см. также Gamliel and Wolf, 1988; Gamliel, 1988.)

(кликните для просмотра скана)

Рис. 5.35. Схема акустического эксперимента, который был использован для демонстрации образования сдвигов частоты спектральных линий вследствие корреляции источников. (Bocko, Duaglass and Knox, 1987)

Предсказание о том, что корреляции между излучающими источниками могут привести к сдвигам спектральных линий, было впервые продемонстрировано на акустических (а не на оптических) волнах Бокком, Дугласом, Ноксом (Bocko, Douglass and Knox, 1987). Два частично коррелированных источника (громкоговорители) с одинаковым спектром были получены при помощи двух независимых генераторов, которые создавали случайные сигналы Комбинированные сигналы

управляли двумя громкоговорителями, находящимися недалеко друг от друга в точках и (см. рис. 5.35). Из (5.8.17) следует, что

где мы использовали тот факт, что

так как два генератора независимы. Выполняя преобразование Фурье уравнений (5.8.18) и используя теорему Винера — Хинчина [см. (2.4.15) и (2.4.16)], мы мы сразу видим, что спектры двух источников являются одинаковыми, и каждый из них определен формулой

где спектры мощности для соответственно.

Далее из (5.8.17) следует, что функция взаимной корреляции двух источников определяется выражением

После преобразования Фурье этой формулы и использования теоремы Винера — Хинчина, снова получим для взаимной спектральной плотности двух источников выражение

Из (5.8.22) и (5.8.20) следует, что степень корреляции двух источников (5.8.6) определяется по формуле

В этом эксперименте микрофон размещался на равном расстоянии от двух акустических источников. Спектры измерялись в микрофоне, когда сначала включался один источник, потом — другой. Было обнаружено, что спектры имеют такую же форму, как и спектры двух источников. Далее измерялся спектр звука в микрофоне когда оба источника были включены. Согласно (5.8.8) в котором определяются уравнениями (5.8.20) и (5.8.23), соответственно, находим, что

Этот спектр очевидно не пропорционален спектру [см. (5.8.20)] каждого источника, если не пропорционально Пик спектра поля зависящий от вида может смещаться относительно пика спектра источника Этот эффект наблюдался в эксперименте. При подходящем выборе спектров сигналов наблюдалось красное [см. рис. 5.36а] и синее [см. рис. смещения.

Рис. 5.36. Квадратный корень от спектральной плотности линий, которые были измерены в акустическом эксперименте, изображенном на рис. 5.35. Кривые В — спектральные кривые, измеренные в микрофоне когда был включен только один из источников. Кривая С — спектральная линия в когда оба источника были включены. Видно, что в случае а линия испытывает красное смещение относительно в случае синее смещение, в зависимости от выбора коэффициента корреляции . (Bocko, Douglass and Knox, 1987)

Рис. 5.37. Схема оптического эксперимента, используемого для демонстрации образования частотных сдвигов спектральных линий вследствие корреляций источника. (Gori, Guattari, Palma and Padovani, 1988)

Рис. 5.38. Результаты измерений (точки), демонстрирующие сдвиги спектральных линий из-за корреляций между двумя малыми оптическими источниками (см. установку на рис. 5.37). Для ясности, точки экспериментальных данных соединены сплошными линиями, а — спектр красного смещения, спектр синего смещения, с — спектр источника, умноженного на 2. (Gori, Guattari, Palma and Padovani, 1988)

Вскоре после этого Гори, Гуатари, Палма и Падовани (Gori, Guattari, Palma and Padovani, 1988) провели оптический эксперимент, иллюстрирующий сдвиги спектральных линий от двух частично коррелированных источников. Вторичные источники и создавались одновременным освещением двух отверстий двумя когерентными, но взаимно независимыми лучами с использованием делителя луча (см. рис. 5.37).

Корреляция между источниками зависит от ориентации делителя луча, которую можно менять, изменяя угол его наклона относительно нормали к плоскости в которой находятся два отверстия.

Спектр поля, создаваемый вторичными источниками исследовался анализатором спектра который помещался в окрестность точки, удаленной на одно и тоже расстояние от каждого источника. При помощи этого устройства (рис. 5.38) наблюдалось красное и синее смещения.

Рис. 5.39. Иллюстрация схемы и обозначений для формулы (5.8.25) (James and Wolf, 1991а)

Рис. 5.40. Изменения, создаваемые интерференцией в аксиальной точке [см. рис. 5.39] в спектре Планка при разных значениях Предполагалось, что источник находится при температуре и стягивает угловой полудиаметр рад. в точке О. Единицы измерения на вертикальной оси произвольные (James and Wolf, 1991а)

Интересный способ получения двух малых источников, которые могут быть коррелированными, был описан Факлисом и Морисом (Faklis and Morris, 1992).

Другой концептуально простой способ для иллюстрации влияния когерентности на оптический спектр основан на интерференционном эксперименте Юнга. Если отверстия освещаются частично когерентным светом, то спектр света в интерференционной картине будет отличаться от спектра падающего на отверстия света по двум причинам: из-за дифракции на отверстиях и вследствие корреляции света в двух этих отверстиях. Однако, как было впервые показано Джеймсом и Вольфом (James and Wolf, 1991а, b), изменения, возникающие благодаря частичной когерентности, существенны лишь тогда, когда ширина полосы частот падающего света достаточно велика. Мы вкратце осветим основную часть их анализа.

Предположим, что два отверстия освещаются удаленным, плоским, некогерентным, однородным, круговым источником [см. рис. 5.39]. Также мы предполагаем, что устройство является симметричным, плоскости отверстий параллельны плоскости источника. Из одной из теорем взаимности для квазиоднородных источников [см. (5.3.22)] следует, что спектральная степень когерентности света, падающего на отверстия, определяется выражением

где функция Бесселя первого рода и первого порядка, — угловой диаметр, который источник стягивает в средней точке О между двумя отверстиями и расстояние между ними, с — скорость света в вакууме. Для простоты рассмотрим спектр в точке удаленной на некоторое расстояние за плоскость малых диафрагм и находящейся на нормали к плоскости источника. Из выражений (4.3.54) и (5.8.25), а также из элементарной формулы для дифракции на отверстии следует, что

где спектр падающего на два отверстия света, А — площадь каждого отверстия (которое предполагается достаточно малым) и расстояние На рис. 5.40 показан вид спектра вычисленного с помощью (5.8.26) для разных значений в случае, когда спектр падающего света представляет собой спектр Планка

Здесь А — константа, постоянная Планка, деленная на постоянная Больцмана и температура. Рисунок показывает, что появляется существенное изменение в спектре в точке как только расстояние между отверстиями становится все больше и больше, т.е. как только спектральная плотность когерентности падающего на два отверстия света изменяется при изменении Этот эффект был экспериментально продемонстрирован в работе (Kandpal, Vaishya, Chander, Saxena, Mehta and Joshi, 1992 и Santarsiero and Gori, 1992).

Из (5.8.25) мы видим, что спектральная степень когерентности зависит от только через их произведение. Если вместо записать то этот результат означает, что

где любое положительное число. Эта формула показывает, что при условиях, когда применима формула (5.8.25), спектральная степень когерентности света на частоте в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии совпадает со спектральной степенью когерентности света на частоте в точках, удаленных друг от друга на расстояние Таким образом, существует «обмен» между частотой и расстоянием. Этот результат представляет собой пример так называемого интерференционного принципа эквивалентности для определенных типов полей (James and Wolf, 1991с). Такие поля создаются, например, всеми плоскими, квазиоднородными источниками, имеющими один и тот же нормированный спектр во всех точках источника. Этот принцип представляет интерес в радиоастрономии для достижения высокого разрешения при помощи только двух радиотелескопов, с заданным расстоянием между ними.