1.3. Случайные переменные и распределение вероятностей

Когда возможными исходами А опыта или эксперимента являются числа, то эти результаты автоматически становятся взаимоисключающими. Удобно рассматривать эти числа как значения некоторой переменной которая называется случайной переменной. Если возможные значения х составляют счетное множество чисел то известна как дискретная случайная переменная. Если же возможными значениями х являются любые числа в некотором интервале (который может быть бесконечным), то х называется непрерывной случайной переменной. Набор всех возможных исходов известен как ансамбль чисел х. Обычно принимается, что случайная переменная является действительной, но и комплексные случайные переменные содержащие реальную х и мнимую у части, являющиеся случайными величинами, также будут встречаться.

Рис. 1.3. Дискретное а и непрерывное распределения вероятности

С каждым возможным результатом или значением дискретной переменной мы можем связать вероятность так как различные значения являются взаимоисключающими, соответствующие вероятности в силу (1.2.1) должны давать в сумме единицу

График вероятности как функции на рис. 1.3а содержит серию точек, или линий, и иллюстрирует распределение вероятности по интервалу. В том случае, если некоторое значение о является определенным, и никаких других значений не существует, вероятность имеет вид

где дельта символ Кронекера, т.е. если в других случаях.

Если х является непрерывной случайной переменной в интервале то удобно ввести для ансамбля х понятие плотности вероятности так что есть вероятность того, что х находится в бесконечно малом интервале от х до Тогда согласно (1.3.1) мы получаем условие нормировки

Форма дает распределение вероятности случайной переменной х (см. рис. 1.3б). Вероятность того, что х равно или меньше некоторого значения , определяется интегралом

В соответствии с выражением (1.2.2) мы имеем неравенство

Следовательно, является возрастающей функцией от X, ограниченной единицей, а ее производная является плотностью вероятности

Плотность вероятности может не существовать в смысле обычных функций, когда терпит разрыв, но она не может быть более сингулярной, чем дельта-функция Дирака. Если непрерывная случайная переменная х однозначно принимает значение то имеет следующий вид:

который может быть сопоставлен с выражением (1.3.2) для дискретной случайной переменной. Необходимость использования дельта-функций для описания плотностей вероятности может быть обойдена путем использования интегралов Стилтьеса гл. 2, разд. 9), но здесь мы будем без колебаний использовать дельта-функции. В самом деле, путем использования дельта-функций мы можем объединить рассмотрение дискретных случайных переменных с рассмотрением непрерывных случайных переменных. Если дискретная переменная принимает значения с вероятностями то можно формально описать эту ситуацию с помощью непрерывной переменной имеющей следующую плотность вероятности

По этой причине (и чтобы избежать повторения) отныне формально мы будем считать непрерывной переменной.

Имеет смысл сделать одно предостерегающее замечание, касающееся обозначений. Если х и у являются двумя различными случайными переменными, то их плотности вероятностей иногда обозначаются как соответственно, без неявного предположения о том, что формы двух распределений вероятности равны. Однако, предпочтительнее использовать различные обозначения, например для двух плотностей вероятности, которые не обязательно равны.