6.5. Обобщенные матрицы когерентности второго порядка и тензоры когерентности стационарного электромагнитного поля

6.5.1. Электрические, магнитные и смешанные матрицы когерентности (тензоры)

Матрица когерентности характеризует простейшие корреляционные свойства однородного, квазимонохроматического пучка электромагнитного излучения. В частности, как мы видели, с ее помощью можно описать состояние поляризации пучка.

Для того, чтобы описать корреляционные свойства электромагнитного поля, которое не обязательно квазимонохроматично или имеет форму луча, требуются более общие матрицы когерентности. Они могут быть определены следующим образом. Рассмотрим флуктуирующее поле, статистические свойства которого характеризуется стационарным эргодическим ансамблем, и пусть представления

комплексных аналитических сигналов для векторов электрического и магнитного поля, соответственно, в пространственно-временной точке Для простоты предположим, что они имеют нулевые средние значения:

Тогда матрицы когерентности [введенные Вольфом (Wolf, 1954)] определяются формулами:

где каждое и к соответствует индексам которые обозначают компоненты, выбранные в фиксированной декартовой прямоугольной системе координат. называются электрической и магнитной матрицами когерентности, соответственно, а называются смешанными матрицами когерентности. Эти матрицы, конечно, могут рассматриваться как декартовы тензоры второго ранга. В последующем обсуждении нам часто будет удобнее использовать язык и обозначения тензорного анализа, а не матричной алгебры.

Мы отметим несколько очевидных соотношений, которые сразу же следуют из вышеприведенных определений и предположения о стационарности, а именно,

Матрицы когерентности также подчиняются различным условиям неотрицательной определенности, которые могут быть выведены следующим образом. Запишем очевидное неравенство

где произвольные функции интегрирование проводится по произвольной пространственно-временной области, содержащей поле. Опять подразумевается правило суммирования Эйнштейна. Мы сразу же получаем из неравенства (6.5.4) и из определяющих соотношений (6.5.2) следующие условия неотрицательной определенности [первоначально выведенные в контексте квантованного электромагнитного поля (Mehta and Wolf, 1967а)]:

Здесь мы также использовали стационарность поля.

Особый интерес представляют два частных случая этого неравенства. Если мы будем считать, что в неравенстве (6.5.5), мы получим следующее условие неотрицательной определенности, которому подчиняется электрическая матрица когерентности:

где снова используется правило суммирования Эйнштейна. Аналогично, положив получим соответствующее условие неотрицательной определенности, которому удовлетворяет магнитная матрица когерентности:

Условия неотрицательной определенности (6.5.5)-(6.5.7) могут быть представлены в альтернативных видах с использованием суммирования, а не интегрирования. Для того, чтобы показать это, положим

где произвольные положительные целые числа, произвольные константы (действительные или комплексные), произвольные точки и произвольные моменты времени в пространственно-временной области, по которой в уравнении (6.5.5) выполняется интегрирование. Тогда мы получим из неравенств следующие условия неотрицательной определенности:

Можно сразу же выразить средние значения плотности электрической и магнитной энергии стационарного электромагнитного поля в свободном пространстве через электрическую и магнитную матрицы когерентности. Из формул (6.1.6), (6.1.7) и (6.5.2а), (6.5.26) непосредственно следует, что

Хотя временные аргументы формально входят в левые части уравнений (6.5.13) и (6.5.14) [а также в уравнения (6.5.15) ниже], эти выражения фактически не зависят от времени, как видно из правых частей этих уравнений. Этот факт является следствием нашего предыдущего допущения, что электромагнитное поле является статистически стационарным.

Мы можем также сразу же выразить усредненный вектор Пойнтинга такого поля через смешанные матрицы когерентности. Согласно (6.1.11) и формулам (6.5.2в) и декартовы компоненты задаются выражениями

или, если мы используем соотношение

В этих формулах индексы представляют собой индексы или их циклическую перестановку.