22.5. Вырожденное четырехволновое смешение

Вырожденное четырехволновое смешение представляет собой нелинейный процесс, включающий совместное взаимодействие четырех волн одинаковой частоты в нелинейной среде (Hellwarth, 1997; Yariv and Pepper, 1977; Bloom and Bjorklund, 1977; Jensen and Hellwarth, 1978). Для простоты сосредоточимся на экспериментальной ситуации, показанной на рис. 22.13, когда две интенсивные волны накачки 1 и 2 и холостые волны 3 и 4 являются противоположно направленными и перпендикулярными (Yuen and Shapiro, 1979). Интересующее нас фундаментальное взаимодействие заключается в том, что два фотона поглощаются из лучей накачки и два фотона рождаются в сигнальном и холостом пучках. Сравнение с (22.4.3) подсказывает, что следует начать с гамильтониана взаимодействия общего вида но, как и раньше, мы упростим задачу, рассматривая моды накачки классически. Процесс четырехволнового смешения отличается от параметрического процесса, рассмотренного выше, тем, что мы имеем дело с четырьмя различными направлениями распространения, и это должно быть отражено в структуре гамильтониана.

Для начала представим взаимодействие в виде интеграла по объему нелинейной среды

где две классические волны накачки, а — сигнальная и холостая волны, соответственно. Если V — фазовая скорость волн в среде, то мы представляем эти четыре квазимонохроматические, поляризованные плоские волны в виде

где единичные векторы поляризации. Заметим, что комплексные амплитуды волн накачки рассматриваются как константы, тогда как амплитуды сигнальной и холостой волны являются медленно изменяющимися операторными функциями от соответственно. Подставляем эти выражения в (22.5.1). Если линейные размеры объема велики по сравнению с длиной волны то основные вклады в интеграл по объему дают члены, в которых осциллирующие множители полностью погасились. Это приводит к следующему упрощенному виду выражения для энергии взаимодействия:

Считаем, что безразмерны, так что есть действительная частота.

Рис. 22.13. Геометрия четырехволнового взаимодействия

22.5.1. Уравнения движения

Из выражения (22.5.3) для мы получаем уравнения движения Гейзенберга для операторов в виде

Эти уравнения очень похожи на уравнения (22.4.6), с которыми мы сталкивались при анализе процесса вниз-конверсии, и они могут быть решены аналогичным методом.

Однако в настоящей задаче более удобно рассматривать 3, как функции пространственной координаты z, и соответственно этому решать уравнения. Вспоминая, что является в действительности функцией от и 4 на самом деле есть функция от мы видим, что

так что уравнения (22.5.4) также могут быть записаны как

После однократного дифференцирования по z, уравнения становятся несвязанными и принимают форму уравнений гармонического осциллятора

решения которых выражаются в виде функции от 2:

Здесь мы положили Пусть длина нелинейной среды с началом в точке Тогда, поскольку волна 3 падает справа и волна 4 слева, определим входные и выходные амплитуды соотношениями

Отсюда, полагая получаем из (22.5.6) следующие вход/выход соотношения:

Сразу становится очевидным, что приближение, рассматривающее волну накачки как константу, без затухания, перестает быть удовлетворительным, когда приближается к