22.4.4. Многомодовая теория возмущений процесса параметрического распада

Хотя гамильтониан с двухмодового квантованного поля (22.4.3) описывает некоторые характерные черты процесса вниз-конверсии, этого недостаточно в других случаях, потому что вниз-конвертированный свет может быть широкополосным и далеко не монохроматическим. Даже если сумма по сигнальным и холостым частотам имеет вполне определенное значение, каждый сигнальный фотон и каждый холостой фотон могут иметь широкую полосу частот, так что фотон ведет себя скорее как короткий волновой пакет, чем как монохроматическая волна.

Мы можем учесть эту возможность, разлагая по модам плоских волн каждый полевой вектор и выражая гамильтониан взаимодействия в виде (Ou, Wang and Mandel, 1989)

где являются, сооответственно, волновым вектором и частотой монохроматической волны накачки, которая имеет векторную амплитуду V и вновь рассматривается классически. Объемный интеграл должен быть взят по активной области нелинейной среды. Для того, чтобы избежать усложнений, связанных с преломлением на границе раздела диэлектрик — воздух, можно выбрать нелинейную среду, внедренную в пассивный линейный диэлектрик с тем же самым коэффициентом преломления.

Если есть состояние поля в момент времени то состояние в более позднее время определяется выражением

В частном случае, когда начальное состояние вниз-конвертированного света является вакуумным состоянием сигнального и холостого фотонов то на временах коротких по сравнению со средним интервалом времени между последовательными параметрическими распадами, мы имеем, разлагая в ряд экспоненту,

Мы считаем нелинейный диэлектрик параллелепипедом со сторонами 11, центр которого находится в начале координат. Набор сигнальных и холостых мод обозначаем как и соответственно, и предполагаем, что они не перекрываются.

Так как выражение для является довольно сложным, упростим его в нескольких отношениях. Предположим, что сигнальные и холостые волны имеют одинаковую поляризацию, и что их направления

хорошо определены диафрагмами и т. п. Мы можем далее считать и направления фиксированными и суммировать только по сигнальным и холостым частотам. Вместо (22.4.20) тогда имеем более простое соотношение

Спектральная функция которую мы выбираем симметричной по отношению к , включает в себя частотную зависимость различных множителей под знаком суммы в (22.4.20). Она имеет пик при Интервал между модами может быть выбран стремящимся к нулю в конце вычисления, когда суммы заменяются интегралами. Для удобства выбираем нормированной, так что

и описываем величину вклада от возмущения параметром Если интенсивность накачки выражается в единицах фотонов в секунду, то является безразмерной величиной. Константа в (22.4.21) очень близка к единице, так как фотонные пары испускаются очень редко, хотя она не может быть единицей. Из условия нормировки состояния заданного выражением (22.4.21), следует, что при

так что модуль должен быть немного меньше единицы. Сделаем подстановку и рассмотрим предельный случай стационарного состояния при больших Тогда

Теперь основные вклады в интеграл происходят от малых значений таких что Если является достаточно медленно изменяющейся функцией от , то мы можем сделать приближение, заменяя на под интегралом. Интегрирования по со и в этом случае разделяются, и можно записать

С помощью (22.4.22) мы затем получаем из (24.4.23) соотношение Справедливость приближения (22.4.20), использованного нами, тогда зависит от условия

На первый взгляд кажется, что оно противоречит предположению о больших временах, которое мы использовали при выводе (24.4.24). Однако условие (24.4.25) требует лишь, чтобы было коротким по сравнению со средним интервалом времени между параметрическими распадами, а это время может быть на несколько порядков больше любого времени корреляции, которое, в свою очередь, должно быть меньше