1.4.2. Характеристическая функция

Производящая функция моментов может не существовать для любого Однако, другая производящая функция

известная как характеристическая функция, всегда существует как обычная функция, потому что она является попросту фурье-преобразованием абсолютно интегрируемой функции (Goldberg, 1961, гл. 2). В общем случае является комплексной функцией. Если квадратично интегрируема, то выражение, обратное (1.4.6), может быть использовано для определения плотности вероятности

так что даже когда содержит вклады дельта-функций, выражения (1.4.6) и (1.4.7) остаются справедливыми в рамках теории обобщенных функций. Ясно, что моменты, если они существуют, могут быть получены сразу и просто путем дифференцирования как и выше. Однако, стоит отметить, что характеристическая функция существует даже тогда, когда моментов нет. Например, снова рассмотрим распределение Коши (1.3.23), не имеющее моментов, для которого

Правая часть этой формулы не дифференцируема по при следовательно, не может производить моментов. Даже когда моменты существуют, плотность вероятности не всегда однозначно определена его моментами, хотя противоположные примеры приводят к патологии и нефизичности (Kendall, 1952, гл. 4).

Характеристические функции обладают очень разнообразными математическими свойствами и им посвящены целые книги (Lukacs, 1960). Несколько следующих свойств являются наиболее полезными:

что, очевидно, следует из определения.

что следует из

Поэтому характеристическая функция никогда не превышает ее значения при .

(в) непрерывна на действительной оси, даже если имеет разрывы непрерывности. Это можно видеть из неравенства

поскольку правая часть стремится к нулю при для всех

где звездочка означает комплексное сопряжение. Это следует непосредственно из определения благодаря тому, что является действительной величиной.

(д) является неотрицательной. Это означает, что для произвольного набора действительных чисел произвольных комплексных чисел имеем

Этот результат следует из неравенства

когда среднее слева записано в виде интеграла. Тогда мы имеем:

которое с помощью выражения (1.4.6) приводит к неравенству (1.4.13).

Существует важная теорема, полученная Бошнером (Bochner, 1959, с. 325-328; см. также Goldberg, 1961, гл. 5), которая в своей элементарной форме утверждает, что каждая неотрицательно определенная из широкого класса функция имеет неотрицательное фурье-преобразование и, наоборот, — фурье-преобразование каждой неотрицательной функции широкого класса является неотрицательно определенной функцией. Этот класс включает в себя функции, которые спадают достаточно быстро на бесконечности с тем, чтобы обеспечить условие, при котором их фурье-преобразования являются непрерывными функциями. Абсолютно интегрируемые функции относятся к такому роду функций. Отсюда следует, что комплексная функция которая удовлетворяет условиям (1.4.13) и является характеристической функцией.

Из определений очевидно, что три производящие функции если они существуют, связаны следующим образом:

И, наконец, если является комплексной случайной переменной с плотностью вероятности так что то характеристическая функция представляет собой двухмерный фурье-образ от Его можно записать в виде

где и является комплексным параметром и является двухмерным фурье-ядром для