5.7.5. Радиометрия как коротковолновой предел статистической волновой теории с квазиоднородными источниками

В разд. 5.7.3 мы ввели обобщенную функцию яркости для плоского, вторичного, квазиоднородного источника. Покажем теперь, что естественное обобщение определения одной из таких функций подходит для представления обобщенной яркости не только для точек на плоскости источника, но также для всех точек полупространства Мы покажем далее, что в коротковолновом пределе (более точно в асимптотическом пределе при к эта функция подчиняется всем основным постулатам традиционной радиометрии и удовлетворяет уравнению (5.7.87), как частному случаю уравнения (5.7.84) переноса энергии излучения для свободного пространства.

Вернемся к определению (5.7.49) для обобщенной яркости, а именно,

в котором мы использовали соотношение и вместо записали чтобы подчеркнуть, что эти величины относятся к точкам плоскости источника Согласно (3.2.27) можно выразить формулу (5.7.89а) в альтернативной форме

где амплитуда углового спектра (случайного) поля создаваемого источником в полупространстве

Структура формулы (5.7.896) предполагает следующее обобщение, обозначаемое через функции в точках, соответствующих любым положениям в полупространстве в которое источник излучает:

где как обычно, действительный единичный вектор и Очевидно,

Далее мы покажем, что расширение (5.7.90) определения (5.7.896) имеет физически важное значение для излучения, создаваемого квазиоднородными источниками, по крайней мере, в асимптотическом пределе при Для этого мы сначала выразим переменную поля через его граничные значения на плоскости используя дифракционную формулу Рэлея первого рода [см. (3.2.78)], а именно,

где

и интегрирование выполняется по области источника а. Подставляя (5.7.92) в (5.7.90), меняя порядок усреднения и интегрирования и используя (5.7.896), мы находим, что

В общем случае эта величина является комплексной и, следовательно, не может представлять истинную функцию яркости. Однако, как мы покажем, ситуация меняется, когда источник является квазиоднородным, а длина волны излучаемого поля является достаточно короткой.

Для плоского вторичного квазиоднородного источника обобщенная функция яркости на плоскости источника определяется уравнением (5.7.62) [см. также (5.7.67)]. При подстановке этого выражения в (5.7.95) мы получим для следующее выражение:

где

В формуле представляет собой двумерный фурье-образ [см. (5.7.63)] спектральной степени когерентности источника, а спектральная плотность в точке источника.

Рассмотрим теперь поведение выражения (5.7.96) для очень коротких длин волн или, более точно, в асимптотическом пределе при считая, что этот предельный переход не влияет на источник. Для этой цели продифференцируем сначала правую часть (5.7.93) и подставим результирующее выражение для функции Грина в (5.7.97). Тогда мы находим, что

где

и

Когда к становится все больше и больше, экспоненциальный член в выше приведенных интегралах будет, в общем случае, осциллировать все быстрее и быстрее при изменении в области интегрирования (область источника) и может быть вычислен при использовании принципа стационарной фазы для двойных интегралов (разд. 3.3.3). Более того, как очевидно из сравнения двух выражений в правых частях уравнений (5.7.99) и (5.7.100), является величиной более низкого порядка по к при Поэтому кроме некоторых частных случаев (например, где на оси симметрии расположены точки поля), мы можем пренебречь вкладом при асимптотической оценке и тогда мы имеем

Асимптотическая оценка приведена в прил. 5.1; находим

(О — символ порядка) при к где (в прил. 5.1 обозначается как точка плоскости источника, определяемая по формуле

При подстановке (5.7.103) в (5.7.96) мы находим, что, с точностью до главного порядка по к в асимптотическом разложении при к

Сравнивая выражение (5.7.105) с выражением (5.7.62) для функции яркости квазиоднородного источника, а именно,

и вспоминая, что мы видим, что в асимптотическом пределе при

где вектор положения точки плоскости источника связан с точкой поля уравнением (5.7.104).

Для того, чтобы понять физический смысл только что полученного результата, обозначим точки концов векторов связанных соотношением (5.7.104), как и соответственно. Тогда с помощью элементарной геометрии можно показать, что есть точка, через которую линия, проходящая через в направлении единичного вектора пересекает плоскость источника (см. рис. 5.29). Таким образом, уравнения (5.7.107) и (5.7.106) означают, что

где означает телесный угол, образованный векторами от всех точек источника до точки

Рис. 5.29. Иллюстрация обозначений к (5.7.108). Точка на плоскости источника, вектор положения которой определяется уравнением (5.7.104), есть точка пересечения линии, проходящей через точку в направлении действительного единичного вектора с плоскостью источника

Из простого соотношения (5.7.107) и из уравнений (5.7.65) и (5.7.66) следует, что в асимптотическом пределе при к —У функция должна быть неотрицательной и принимать нулевые значения во всех точках плоскости источника, которые находятся вне области источника. Следовательно, она подчиняется двум основным постулатам традиционной радиометрии. Более того, из (5.7.104) и (5.7.107) мы сразу видим, что

т.е. постоянна вдоль каждой прямой линии в полупространстве Формула (5.7.109), которая идентична уравнению (5.7.88) для плотности потока излучения, означает, что в свободном пространстве функция удовлетворяет уравнению (5.7.87) переноса энергии излучения, а именно,

Очевидно, в этом случае можно отождествить с плотностью потока (см. разд. 5.7.4) и также с функцией яркости в традиционной радиометрии. По этой причине предельную форму будем обозначать как

Основные результаты, полученные в этом разделе, можно объединить в виде следующего утверждения: в асимптотическом пределе при функция яркости, определяемая уравнением (5.7.105) или, более точно [с учетом (5.7.104)], уравнением

Рис. 5.30. (см. скан) Графики в полярных координатах, построенные на основе (5.7.105), для спектральной функции яркости в разных точках на плоскости х, у, создаваемой различными плоскими вторичными источниками. Точки с нижними индексами 1, 2, 3, 4 и 5 соответствуют расстояниям 4 см, 6 см, 8 см, 10 см и 12 см, соответственно, от центра источника О. а — для кругового квазиоднородного ламбертовского источника с радиусом для кругового квазиоднородного ламбертовского источника с радиусом , спектральная плотность которого на частоте спадает, как гауссовская функция [см. (5.3.23)] с дисперсией см;

правильно описывает поведение поля, создаваемого любым плоским вторичным квазиоднородным источником. Мы подчеркиваем, что формула (5.7.11) показывает, что энергетическая яркость зависит не только от распределения спектральной плотности в плоскости источника, но и от степени когерентности источника.

На рис. 5.30 изображены графики в полярных координатах, полученные с помощью (5.7.105), которые иллюстрируют поведение функции яркости полей, создаваемых некоторыми квазиоднородными источниками.

Из графиков следует, что, как и ожидалось, когерентные свойства источника могут оказывать значительное влияние на функцию яркости.

Отправным пунктом предыдущего анализа было определение (5.7.49) для обобщенной функции яркости на плоскости вторичного источника. Было показано, что те же самые результаты можно получить на

Рис. 5.30. (см. скан) (продолжение) в — для кругового квазиоднородного гауссовского коррелированного источника [см. (5.3.24)] с радиусом и для кругового квазиоднородного гауссовского коррелированного источника с радиусом спектральная плотность которого на частоте спадает как гауссовская функция с см. (Foley and Wolf, 1991)

основе другого определения (5.7.46) (Kim and Wolf, 1987). На самом деле, есть указания на то, что в асимптотическом пределе при к многие другие возможные определения обобщенных яркостей будут приводить к одинаковым результатам (Agarwal, Foley and Wolf, 1987; Friberg, Agarwal, Foley and Wolf, 1992).