13.1.9. Флуктуации интенсивности излучения черного тела

В силу того, что весовой функционал описывающий состояние поля, представляет собой обычный функционал вероятности, можно также рассматривать излучение черного тела классически, используя флуктуационную комплексную амплитуду поля и флуктуационную мгновенную интенсивность света Амплитуда есть положительно-частотная часть или аналитический сигнал любого из полевых векторов типа и может быть задана в виде фурье-разложения по набору амплитуд мод

Здесь есть простая, медленно меняющаяся функция от которая принимает вид для электрического поля, для векторного потенциала и т.д. Так как все фурье-амплитуды имеют совместное гауссовское распределение, и линейна по то является комплексным векторным гауссовским случайным процессом.

Разложим по трем декартовым составляющим которые являются комплексными скалярными гауссовскими случайными переменными и (в силу (13.1.27)) некоррелированными и статистически независимыми. Интенсивности света отвечающие этим трем скалярным процессам, имеют, следовательно, экспоненциальные распределения вероятностей ниже]

(аналогично для и причем все три статистически независимы друг от друга. Но полная интенсивность света определяется выражением

а средние значения удовлетворяют соотношениям

в силу изотропности поля. Для электрического и магнитного полей получается из (13.1.27). Следовательно, полная интенсивность света имеет плотность вероятности определяемую формулой

которая с помощью (13.1.36) и (13.1.37) сводится к

Рис. 13.4. Ожидаемое распределение вероятностей интенсивности света I излучения черного тела

Это распределение вероятностей, имеющее вид -распределения (ср. разд. 1.5.7), показано на рис. 13.4. В отличие от составляющих наиболее вероятное значение равно а не 0. Это распределение может быть получено, конечно, непосредственно из весового функционала с помощью определения

где но вычисление получается более сложным, несмотря на формальную простоту (13.1.39).

Из (13.1.38) сразу следуют моменты интенсивности света

так что дисперсия

Характеристическая функция плотности вероятности задается формулой

и сводится к

после вычисления интеграла, что и следовало ожидать для -распределения.