Приложение 4.1. Ядро H(R) оператора ... в представлении интегрального преобразования

В этом приложении мы формально вычислим интеграл (4.6.13), а именно,

где интегрирование производится по всему -пространству.

Введем сферические координаты в -пространстве, направив полярную ось вдоль Тогда формула принимает вид

Интегрирование по дает Тогда, полагая из получим, что

т. е.

где

Эти положительно- и отрицательно-частотные части дельта-функции Дирака фактически представляют собой сингулярные функции и с которыми мы уже встречались в разд. 3.1. Несколько другие обозначения, использованные здесь, связаны с разницей в знаках аргументов экспоненциальных ядер во временном и пространственном фурье-преобразовании. Функции и можно также представить в виде разд. 8)

где главное значение по Коши.

Формула в тексте соответствует выражению (4.6.14).