1.2.2. Условные вероятности

Вероятность некоторого события А, обусловленного некоторым другим событием В, известна как условная вероятность А относительно события В, и она часто обозначается как Она задается отношением

и определена, разумеется, только когда В не является нулевым событием. Из (1.2.4) непосредственно следует, что

так что условная вероятность является истинной вероятностью со всеми свойствами, определенными ранее. Если полный набор взаимоисключающих возможных результатов, то, благодаря свойству (1.2.5), имеем

Если условная вероятность события А относительно события В равна безусловной вероятности события А, или

то, очевидно, неважно, происходит В или нет, поскольку это не касается А. События тогда описываются как статистически независимые. Из (1.2.15) и (1.2.12) мы видим, что

всякий раз, как статистически независимы, и это иногда принимается в качестве определяющего соотношения для статистической независимости. С более общей точки зрения, необходимое и достаточное условие статистической независимости для событий состоит в том, что совместная вероятность факторизируется в виде

Аналогичное выражение сохраняется для любого подмножества из событий. Очевидно, что события, которые являются взаимоисключающими, не могут быть статистически зависимыми, потому что совместная вероятность для взаимоисключающих событий равна нулю (кроме тривиального случая, в котором одно или более событий не могут случиться вообще).

Следующий простой пример может оказаться полезным. Предположим, что подбрасывается игральная кость и фиксируется число на верхней ее грани. Рассмотрим событие А, в котором число делится на 2, событие в котором число делится на 3, и событие С, в котором число является неделимым (т.е. простым). Эти события описываются следующими наборами цифр с вероятностями:

Пересечения среди этих наборов задаются следующими выражениями

Следовательно,

так что являются статистически так же независимыми, как но не являются статистически независимыми.