2.1.3. Функционал вероятности

Несмотря на то, что содержит больше информации, чем не существует верхней границы для при непрерывном параметре и никакое не может при конечных полностью описать случайный процесс. Только совместная плотность вероятности бесконечного порядка при всех или функционал вероятности в котором означает бесконечное множество всех х при всех содержит полное статистическое описание случайного процесса. Однако явная форма функционала часто неизвестна.

Тем не менее, понятие функционала вероятности иногда может быть полезным, например, для описания математического ожидания некоторого функционала от В этом случае пишем

где сокращенное обозначение для всем По аналогии с характеристической функцией для случайных переменных, например, можно связать характеристический функционал с функционалом вероятности следующим образом:

В частности, для гауссовского процесса с нулевым средним при очевидном обобщении уравнения (1.6.28) получается характеристический функционал

сашнехр

где ковариационная матрица, которая также является автокорреляционной функцией. В принципе, многомерные моменты или корреляции случайного процесса могут быть получены из при использовании функционального дифференцирования, которого мы не будем здесь применять.