1.5.7. Гамма-распределение

Гамма-распределение является другим непрерывным однопараметрическим распределением для случайной переменной определенной в интервале Если плотность вероятности задана следующим образом

то х называется гамма-случайной переменной параметра может быть нецелым числом), или -переменной. Если является целым числом, то -переменная имеет следующее распределение вероятности

Его не нужно путать с пуассоновским распределением, которое выглядит так же, но является скорее распределением вероятности для нежели для х. Отдельные примеры -распределения изображены на рис. 1.8.

Производящая функция моментов существует для и мы имеем

При этом -тый момент является коэффициентом при и мы находим, что

так что среднее является параметром

и дисперсия также равна

Хотя дисперсия увеличивается с ростом относительная ширина уменьшается с ростом Из выражения (1.5.37) производящая функция кумулянтов равна

Производящая функция позволяет определить кумулянты следующим образом

Рис. 1.8. Некоторые примеры -распределения для целых значений параметра

С помощью выражения (1.4.30) находим, что асимметрия всегда положительна

хотя и стремится к нулю при в то время как эксцесс равен

и стремится к 3. Это означает, что и -распределение стремится к гауссовской форме при что можно показать в явном виде. Если преобразовать х в стандартную форму, положив то сразу же найдем с помощью правила преобразования (1.4.26), что

и стремится к при это значение является характеристикой производящей функции кумулянтов гауссовской переменной в стандартной форме.

Независимые случайные -переменные можно комбинировать для образования других -переменных. Чтобы показать это, рассмотрим набор из независимых случайных -переменных с параметрами соответственно, и пусть

Из общего композиционного правила (1.4.20) следует, что производящая функция кумулянтов для у равна

где Следовательно, у является новой случайной -переменной, параметр которой является суммой параметров исходных случайных -переменных. Это свойство подобно свойству, встречавшемуся ранее для пуассоновских случайных переменных, и иногда называется свойством воспроизводимости.

И, наконец, отметим, что если х является гауссовской случайной переменной со средним и средним квадратичным отклонением то

является случайной гамма-полупеременной. Чтобы показать это, воспользуемся общим правилом преобразования (1.3.13) и получим для плотности вероятности переменной у следующую формулу

т.е. является случайной -переменной общей формы (1.5.35) с соответствии с композиционным законом, воплощенным в выражении (1.5.46), получаем, что если являются независимыми гауссовскими случайными переменными, то

является случайной -переменной параметра