9.7. Статистика фотоэлектрических отсчетов флуктуирующего поля

Когда оптическое поле флуктуирует и его следует рассматривать как случайный процесс, вероятность детектирования актов фотоэлектрического испускания в конечном интервале времени от до

вообще говоря, не является распределением Пуассона. Для того чтобы найти соответствующую вероятность, мы начнем с выражения (9.5.2), которое справедливо для одиночной реализации, и снова усредним по ансамблю. Тогда мы получим

что может быть записано более компактно в виде

Здесь множитель который в раз больше, чем интегральная интенсивность света, может рассматриваться как новая случайная переменная, плотность вероятности которой может, в принципе, быть получена из известной статистики оптического поля. Тогда операция усреднения в (9.7.1) может быть формально выражена в форме интеграла, и мы можем записать

Эта формула, которая впервые была выведена в 1950-х (Mandel, 1958, 1959), ясно показывает, что статистика проявляется двумя различными путями в интегральной вероятности детектирования : как случайность актов индивидуального фотоэлектрического испускания, которая обязана квантовой механике, лежащей в основе фотоэлектрического процесса, и как флуктуации самого поля излучения. Но даже в отсутствии последних невозможно предсказать, когда и сколько актов фотоэлектрического испускания будет происходить, что уже ясно из выражений (9.3.10) и (9.5.2).

Усреднение по флуктуациям т.е. по флуктуациям электромагнитного поля, вообще говоря, вызывает отклонение от распределения Пуассона, несмотря на формально пуассоновскую структуру выражений (9.7.1) и (9.7.3). Это особенно ясно, если мы сосредоточимся на первых двух моментах Мы находим для среднего числа актов фотоэлектрического детектирования, что

а для второго момента n получаем

так что дисперсия n определяется формулой

Сказанное ясно показывает, что число актов фотоэлектрического детектирования не подчиняется распределению Пуассона, когда флуктуирует, потому что дисперсия превосходит среднее Хотя выражение (9.7.6) наводит на мысль, что дисперсия не может быть меньше однако, как мы еще обнаружим в гл. 14, это все же может происходить для определенных квантовых состояний поля, хотя это и невозможно в классическом поле.

Следует изучить два предельных случая общей формулы (9.7.1). Сначала предположим, что интервал измерения очень велик по сравнению со временем корреляции интенсивности света, так что

под знаком интеграла в (9.7.2) претерпевает много изменений во времени. Тогда интеграл по времени, деленный на может аппроксимироваться временным средним, и для эргодического процесса среднее по времени равно среднему по ансамблю. Следовательно,

из чего следует, что величина флуктуирует очень мало, вовсе не флуктуирует в пределе Значит может быть аппроксимировано дельта-функцией под интегралом в (9.7.3), и мы получим

для очень больших Распределение является пуассоновским, потому что флуктуации усреднены.

Далее рассмотрим другой предельный случай, в котором интервал короче, чем время корреляции интенсивности света Тогда в (9.7.2) не меняется значительно в пределах интервала интегрирования, и мы можем аппроксимировать записав

Значит, пропорционально мгновенной интенсивности света и распределение вероятности становится распределением вероятности не считая масштабного множителя. Поэтому вместо (9.7.3) мы можем записать для существенно коротких временных интервалов выражение

где это плотность вероятности интенсивности света

В качестве иллюстрации применим эту формулу к ситуации, в которой луч поляризованного света от источника в тепловом равновесии попадает на фотодетектор. Из центральной предельной теоремы (см. разд. 1.5.6) мы можем ожидать, что распределение аналитического сигнала V, представляющего это оптическое поле, является гауссовским, поскольку поле в каждой точке является суммой полей от многих независимых источников. Значит распределение величины экспоненциально, т.е.

При подстановке в (9.7.10) мы получаем выражение

которое известно как распределение Бозе — Эйнштейна с параметром Это ясно указывает, что не обязательно пуассоновское, несмотря на формально пуассоновскую структуру выражений (9.7.3) и (9.7.10).

Иногда считается, что формула для распределения вероятности (9.7.12) отражает флуктуационные свойства фотонов в тепловом равновесии, которые подчиняются аналогичному распределению вероятности [ср. (13.1.10) ниже]. Однако, мы вновь отмечаем, что здесь мы рассматриваем падающий свет в виде классической электромагнитной волны, которая порождает случайное испускание фотоэлектронов. Поэтому может оказаться некорректным делать какие-либо выводы из наших уравнений, которые применимы лишь к квантованному полю. Замечательное совпадение между предсказаниями полу классического рассмотрения и полностью квантового рассмотрения привело к размышлениям, что квантовая электродинамика может оказаться ненужной даже для экспериментов по счету фотонов. Однако, как мы увидим позднее, все же существуют результаты измерений, которые нельзя описать в рамках полу классического анализа, но можно описать полностью квантовым образом.

Из (9.7.1) и (9.7.2) следует, что производящие функции от и интегральной интенсивности света очень просто связаны. Например, производящая функция факториальных моментов определяется формулой (см. разд. 1.4.1)

и может быть представлена в виде

Если мы положим то член в правой части принимает вид что является характеристической функцией от если член слева принимает вид , что является характеристической функцией от Следовательно, мы имеем соотношение

и статистика в принципе, может быть получена из статистики