12.5.3. Независящие от фазы весовые функции

Особенно интересна ситуация, когда отлична от нуля только в случае повторных индексов, т.е. при Несложно показать, что это означает определенное предположение о состоянии поля, которое легче всего выразить в виде условия на весовой функционал в представлении по диагональным когерентным состояниям оператора плотности. Еще одно доказательство и обсуждение данного вопроса приводится в работе (Mandel and Mehta, 1969).

Рассмотрим нормально упорядоченный характеристический функционал определяемый выражением (11.11.13). Последовательно дифференцируя мы можем получить функцию спектральной плотности произвольного порядка

таким образом, является производящим функционалом для нормально упорядоченных спектральных плотностей. Наоборот, разлагая экспоненциальные члены в определении мы можем выразить в виде ряда, содержащего функции спектральной плотности. Таким образом,

Если все спектральные плотности обращаются в нуль, за исключением тех, которые имеют повторяющиеся индексы, то двойное суммирование сводится к одинарному суммированию, и мы имеем

Из этого выражения видно, что характеристический функционал фактически является функционалом только набора модулей и не зависит от фаз Но, так как весовой функционал можно выразить, в соответствии с (11.11.4), в виде многомерного фурье-образа от то отсюда следует, что аналогичным образом, является функционалом только набора модулей То есть

где Интегрируя по мы сразу видим, что не зависит от фаз Обратное также верно, и все спектральные плотности без повторяющихся индексов обращаются в нуль, когда является функционалом только набора модулей Проще всего это можно понять, если выразить с помощью оптической теоремы эквивалентности спектральные плотности в виде с-числовых интегралов. В частности, и спектральные плотности и корреляционные функции должны обратиться в нуль при если имеет вид

В разд. 12.8 мы обнаружим, что если весовой функционал имеет вид то это означает, что электромагнитное поле является и стационарным и однородным. Поэтому обращение спектральных плотностей в нуль, за исключением плотностей с повторяющимися индексами, является достаточным для того, чтобы обеспечить стационарность и однородность. Конечно, на практике эти условия вряд ли можно точно удовлетворить во всех порядках. Тем не менее, в силу особенности разложения (12.5.24), которое содержит множители в знаменателе, мы могли бы ожидать, что вклады от членов высшего порядка будут менее значительными, чем вклады от членов низшего порядка. В таком случае спектральные плотности низшего порядка будут доминировать в поведении почти не будет зависеть от фазы, если все спектральные плотности низшего порядка обращаются в нуль, кроме тех, которые имеют повторяющиеся индексы.