и с помощью неравенства Беньяме — Чебышева (1.3.43) получаем
поскольку 
Отсюда следует, что для любого 
вне зависимости от степени малости, величина 
может быть сделана сколь угодно малой путем выбора 
которое может быть очень большим, т.е.
или
Следовательно, поскольку число испытаний стремится к бесконечности, отношение 
стремится к константе 
с единичной вероятностью. Этот результат известен как закон больших чисел и обеспечивает правомерность определения вероятности успеха на основе большого числа независимых испытаний. Существует более строгая версия закона больших чисел, которая использует высшие моменты, но здесь мы ее рассматривать не будем.
и воспользуемся им, чтобы показать, что отношение 
успехов к числу испытаний стремится к 
с единичной вероятностью, когда число испытаний 
стремится к бесконечности. Пусть 
является некоторым произвольно малым числом. Тогда вероятность того, что 
превысит 
определяется выражением
является отклонением 
от его среднего значения. Теперь введем параметр такой, что 
бег, где 
является средним квадратичным отклонением. Тогда 
