14.8.2. Примеры вероятности детектирования

(а) Квазимонохроматическое когерентное состояние

В том случае, когда весовой функционал является произведением дельта-функций вида

мы сразу получаем при подстановке этого выражения в (14.8.8а), что

где правое собственное значение оператора принадлежащего когерентному состоянию Таким образом, фотоэлектрические импульсы, подобно фотонам электромагнитного поля, подчиняются статистике Пуассона.

(б) Одномодовый лазер со случайной фазой

Если единственной возбужденной модой является -мода, а абсолютное значение ее амплитуды есть то функционал для такой довольно идеализированной модели лазера задается выражением (11.11.18). Подставляя его под знак интеграла в (14.8.8а), вновь находим, что

где Распределение вновь является пуассоновским, потому что интенсивность света имеет вполне определенное значение.

(в) Одномодовое фоковское состояние

В этом случае все моды являются незаполненными, за исключением к-моды, которая содержит фотонов. Мы можем исходить либо непосредственно из (14.8.7) и выразить нормально упорядоченный оператор через операторы числа фотонов, либо воспользоваться найденным ранее выражением (11.8.20) для весовой функции заполненной моды. Так как все другие моды незаполнены, имеем

Хотя данный весовой функционал является сильно сингулярным, легко использовать его в (14.8.8а), поскольку «пробная функция» под знаком интеграла является бесконечно дифференцируемой. Поскольку заполнена только одна мода, можно свести к таким образом,

где последняя строка получается из предыдущей интегрированием по частям. Для того, чтобы объем пространства, охватываемый детектором, всегда лежал внутри объема квантования, необходимо наложить условие Подынтегральное выражение можно разложить с помощью правила Лейбница. Тогда находим, что интеграл имеет значение

таким образом, окончательно, имеем

Это распределение Бернулли или биноминальное распределение по и его вид имеет естественную интерпретацию. Поскольку по объему квантования фотоны распределены равномерно, то вероятность того, что любой один фотон содержится в цилиндре с площадью основания и высотой который является объемом пространства, фактически детектируемый детектором за время равна следовательно, вероятность того, что фотон детектирован, есть Это так называемый параметр «успех» данного распределения, а вероятность зарегистрировать «успехов», когда имеется фотонов, просто имеет вид (14.8.16). Если бы мы исходили из фоковского состояния с многомодовым заполнением, то мы бы получили гораздо более сложный параметр успеха.

(г) Поляризованный луч света от теплового источника и короткое время счета Т

В разд. 13.2 было показано, что для стационарного поля такого общего вида весовой функционал всегда можно свести к виду

в котором представляют собой произвольные числа заполнения различных мод. Для любой моды, у которой равно нулю, соответствующий множитель в произведении необходимо рассматривать как -функцию. Следовательно, весовая функция каждой моды является независимым гауссовским распределением, и суммарная комплексная амплитуда поля в каждой пространственно-временной точке также имеет вид распределения Гаусса. Для поляризованного поля, которое является взаимно спектрально чистым (разд. 4.6) по отношению к поляризации, можно записать где есть единичный вектор поляризации, а мгновенная интенсивность в таком случае подчиняется вероятностному распределению [ср. (13.3.7)]

Рис. 14.12. Результаты кратковременных измерений фотоэлектрического счета для лазерного луча и для поляризованного луча от теплового источника с гауссовской статистикой (Приводится из работы Arecchi, 1965)

Несмотря на простоту весового функционала (14.8.17), нельзя, как правило, найти точную конечную форму выражения для или для Однако в тех случаях, когда интервал измерения является достаточно коротким, по сравнению с временем когерентности или обратной шириной полосы частот так что (14.8.12) применимо, можно воспользоваться (14.8.18) для и получить следующий результат

Это распределение Бозе — Эйнштейна по с параметром Оно имеет ту же структуру, что и распределение чисел заполнения фотонов для одной моды поля теплового источника [см. (13.2.4)]. Хотя значение и следовало ожидать, причина того, что распределение имеет одномодовый вид распределения Бозе — Эйнштейна менее очевидна, поскольку здесь мы рассматриваем многомодовое поле.

Чтобы понять это, сначала вспомним, что цилиндрический объем пространства фактически регистрируемый детектором за время меньше объема когерентности, так как меньше, чем площадь когерентности, а меньше, чем длина когерентности поля. Но объем когерентности является также проекцией на трехмерное пространство единичной ячейки фазового пространства и может быть использован для определения «моды» поля. Детектируемый объем, следовательно, лежит внутри соответствующей ячейки фазового пространства. Именно в этом смысле измерение ограничено детектированием одной моды поля. Можно сказать еще и так: фотон с частотным разбросом имеет фундаментальную временную неопределенность и интервал измерения целиком лежит в пределах фундаментальной временной неопределенности. Подобные замечания также можно сделать относительно неопределенности положения в пространстве. На рис. 14.12 показаны результаты измерений за короткий временной промежуток времени, которые согласуются с предсказаниями по формулам (14.8.5) и (14.8.19) для света от теплового источника и для света одномодового лазера.

(д) Частично поляризованный пучок света от теплового источника

Если по отношению к поляризации свет является взаимно спектрально чистым (ср. разд. 4.5 и 13.3), то мы всегда можем представить суммарное поле в виде суммы двух ортогональных, полностью поляризованных составляющих, которые обе являются гауссовскими с интенсивностями света Если выбрать поляризационный базис таким, что матрица поляризации является диагональной (ср. разд. 6.2), то две составляющие поля не коррелируют и, так как они являются гауссовскими, они также и статистически независимы. Таким образом, обе интенсивности двух поляризованных составляющих подчиняются распределениям вероятности типа (14.8.18), в которых соответствующие средние интенсивности света , (12) связаны формулой (13.3.12) с общей средней интенсивностью света и степенью поляризации Было показано, что при таких условиях плотность вероятности общей интенсивности света задается формулой [см. (13.3.13)]

Подстановка этого результата в (14.8.12) приводит к следующей вероятности счета (Mandel, 1963а)

где при условии, что достаточно короткое.

(е) Поляризованный свет теплового источника и произвольное время счета

Воспользуемся определением длины когерентности как длины единичной ячейки фазового пространства, чтобы получить приближенное выражение для вероятности детектирования где не обязательно является коротким. Пусть является временем когерентности светового пучка (которое точно определяется ниже), и предположим, что для длительных имеем

так что интервал времени измерения содержит времен когерентности. Тогда можно ожидать, что величина которая необязательно является целым числом, играет роль числа одинаково заполненных ячеек фазового пространства по отношению к измерению. Поскольку для очень короткого интервала времени измерения имеет вид одномодового распределения Бозе — Эйнштейна, можно ожидать, что для длительных времен она имеет вид многомодового распределения Бозе — Эйнштейна, соответствующего фотонам, распределенным по одинаково заполненным модам. Вид такого распределения вероятности был выведен в разд. 13.3 и он определяется выражением (13.3.29). Поэтому теперь воспользуемся

подходом, справедливым для произвольного интервала времени при котором вероятность достаточно хорошо аппроксимируется формулой

где предполагается, что среднее является точным, а точное значение надлежит определить. Тогда отсюда следует, что дисперсия величины равна

которая, как уже было показано сводится к

Но, как будет ниже показано, дисперсию величины можно найти в достаточно общем виде из (14.8.7) или (14.8.8) и она может быть выражена в виде [см. (14.9.11)]

где временной интервал, зависящий от и задаваемый выражением

Для поляризованного света теплового источника можно отождествить нормированную корреляционную функцию интенсивности квадратом нормированной корреляционной функцией второго порядка амплитуды поля и записать

Если мы сравним выражение (14.8.24), полученное из предположения (14.8.23), с точным выражением (14.8.25), полученным непосредственно из формулы (14.8.7), то заметим, что эти уравнения можно привести к тождественному виду, полагая число равным

При таком отождествлении формула (14.8.23) автоматически дает точные значения двух первых моментов величины в любом случае. Более того, при достаточно коротких временах величину под знаком интеграла в (14.8.27) можно заменить единицей, так что а выражение (14.8.23) является верным. Кроме того, можно ожидать, что оно выполняется и для очень больших времен потому что в таком случае становится большим числом и может быть хорошо аппроксимировано целым числом. Из этого следует, что (14.8.23) при определяемом выражением (14.8.28), должно приводить к хорошему приближению для точной вероятности в случае поляризованного света от теплового источника в самых разнообразных условиях. Эта формула впервые была предложена на основании эвристических рассуждений (Mandel, 1959, 1963а), и ее точность была подтверждена для нескольких спектральных распределений (Bedard, Chang and Mandel, 1967).

Формула типа (14.8.23) также должна с хорошей степенью точности выполняться и для вероятности фотоэлектрического счета, когда свет, падающий на фотодетектор, не является пространственно когерентным. Число областей когерентности находящихся в области фотокатода 5, играет роль, схожую с ролью числа времен когерентности приходящихся на интервал счета В тех случаях, когда фактическое число одинаково заполненных ячеек фазового пространства в (14.8.23) приблизительно равно (Bures, Delisle and Zardecki, 1971, 1972; Zardecki and Delisle, 1973).