12.12.2. Корреляции фотонов

Все соотношения, которые мы получили до настоящего момента, являются соотношениями между динамическими переменными. Физика проявляется в более явном виде, когда мы вычисляем ожидаемые значения в некотором квантовом состоянии Предположим, что мода находится в вакуумном состоянии. Тогда влияние действующего на оператор плотности на входе, выражается свойством

Ожидаемые значения задаются выражениями

Теперь с помощью (12.12.8) и (12.12.10) можно легко получить для среднего числа фотонов в отраженном и пропущенном пучках следующие соотношения

В силу (12.12.10) все остальные члены имеют ожидания, равные нулю. Видно, что все результаты, полученные здесь, аналогичны результатам, которые можно было бы получить, исходя из классических соотношений между входом и выходом.

Более интересный неклассический результат получается, если мы посчитаем корреляционную функцию между выходными пучками 2 и 3. Предположим, что фотодетекторы помещены на двух выходах 2 и 3. Из разд. 12.2 мы знаем, что совместная вероятность детектирования фотона одновременно в отраженном и прошедшем пучках пропорциональна

где последнее выражение получается в силу (12.12.3). Теперь воспользуемся (12.12.8) для и вычислим При входном находящимся в вакуумном состоянии, с помощью (12.12.10) легко можем получить, что

Вторая строка получается из первой, если учесть коммутационные соотношения (12.12.5).

Интересным следствием данного соотношения является то, что когда падающее поле находится в однофотонном состоянии, для которого В таком случае, вероятность детектирования фотона одновременно в отраженном и прошедшем пучках равна нулю. Излишне говорить, что для данного результата в случае классического поля аналогии нет, и величина не может обратиться в нуль, если только само поле тождественно не равно нулю. Кроме того, также представляет интерес вычисление корреляционной функции

С помощью (12.12.11) и (12.12.13) мы сразу находим, что

Это выражение показывает, что корреляционная функция для одинаковых моментов времени между флук-туациями отраженного и прошедшего пучков является либо положительной, либо отрицательной, в зависимости от того, являются ли флуктуации падающих фотонов суперпуассоновскими или субпуассоновскими. Для любого поля, допускающего классическое описание, мы должны иметь причем знак равенства справедлив для полностью когерентного состояния. Следовательно, не существует никаких корреляций между выходами 2 и 3 делителя для когерентного поля, поскольку нет никаких флуктуаций интенсивностей. Для поля, которое является классическим, но не когерентным, корреляционная функция между выходами 2 и 3 является положительной. Это явление известно как эффект Хэнбери Брауна — Твисса (в связи с этим см. разд. 8.4 и 12.2). Мы уже видели, что субпуассоновская статистика возможна только для неклассического поля (ср. разд. 12.10). То же самое справедливо и для отрицательных корреляционных функций между выходами делителя.

В заключение отметим, что операторные соотношения (12.12.4) также справедливы и тогда, когда поле пришедшее на вход 0, не находится в вакуумном состоянии. Так как два световых пучка, представляемые через интерферируют друг с другом, те же операторные равенства будут описывать интерференционный или гомодинный эксперимент.

В качестве примера, мы в очередной раз рассмотрим совместную вероятность детектирования фотона на каждом из двух выходов делителя, изображенного на рис. 12.8. Но на этот раз мы будем предполагать, что на каждый из входов и 1 приходит один фотон. В этом случае, состояние на входе является фоковским состоянием Если воспользоваться выражением (12.12.8) для оператора числа частиц и усреднить в состоянии то легко получим следующий результат:

Эта величина обращается в нуль для 50% : 50%-делителя пучка, для которого Поэтому, когда два одинаковых фотона попадают в 50% : 50%-делитель, по одному на каждый вход, мы никогда не сможем обнаружить, что на каждом выходе находится по одному фотону, или, что существуют два фотона на выходе 2 или на выходе 3. Это пример квантово-механической интерференции амплитуд вероятности для фотонной пары.

Этот эффект можно понять следующим образом. Существует два различных пути, в соответствии с которыми может реализоваться ситуация с одним фотоном на выходе 2 и с одним на выходе 3. Либо оба налетающих фотона проходят через делитель, либо оба они отражаются от него. Так как детекторы, контролирующие выход, не могут различить две эти возможности, то, прежде чем выполнять возведение в квадрат для определения вероятности, необходимо также добавить соответствующие двухфотонные амплитуды вероятности. Но из-за фазовых сдвигов при отражении и прохождении эти две амплитуды вероятности отличаются по фазе ровно на 180°, они и дают нуль при 50% -делителе пучка.