14.1.2. Электромагнитное взаимодействие между полями и зарядами
В гл. 10 мы уже показали, что энергию
свободного, квантованного поля можно выразить в виде (в единицах СИ)
Здесь
операторы гильбертова пространства поля. С другой стороны, энергия частицы с зарядом
массой
и импульсом
находящейся в точке
во внешнем потенциале
задается выражением
в котором
надо рассматривать как операторы гильбертова пространства частицы.
Для того, чтобы получить выражение, описывающее взаимодействие между заряженной частицей, например, электроном, и полем, будем руководствоваться классической электромагнитной теорией. Согласно последней канонический импульс системы, состоящей из заряда
в электромагнитном поле, характеризуемым векторным потенциалом
получается заменой
где
радиус-вектор заряда. Такая же процедура справедлива и в квантовой механике, за исключением того, что
теперь становятся операторами гильбертова пространства заряженной частицы, а
оператором гильбертова пространства поля. Если мы учтем это в выражениях для
и Н, то получим гамильтониан
полной системы
Первым и вторым членами в правой части этого выражения, конечно же, являются
и На, соответственно, а оставшиеся члены можно определить как взаимодействие
Такая форма записи
известна как форма минимального взаимодействия гамильтониана.
На первый взгляд, может показаться странным, что энергия взаимодействия
зависит от потенциала А, который, в свою очередь, зависит от выбранной калибровки. До настоящего момента мы работали в кулоновской калибровке, в которой А представляет собой поперечное векторное поле, и необходимо понимать, что в (14.1.15) А задано в кулоновской калибровке. Однако можно заменить А поперечной частью
векторного потенциала А, чтобы получить для
выражение, инвариантное относительно калибровки. Используя кулоновскую калибровку, в которой
и А совпадают, мы просто избегаем необходимости различать их.
В выражении для
обычно делается ряд упрощений. Когда векторный потенциал
поля выражается в кулоновской калибровке, можно рассматривать
в качестве коммутирующих переменных, даже если
не коммутируют. Чтобы понять это, допустим, что
есть произвольное квантовое состояние атомной системы, а
произвольное состояние, описывающее местоположение, так что
Тогда находим следующий матричный элемент коммутатора скалярного произведения
так как
в кулоновской калибровке. Поскольку это выполняется для любого состояния
то нет необходимости различать в кулоновской калибровке
даже если
не коммутируют.
Дальнейшее упрощение возможно, если атомное состояние
или
на которое либо слева, либо справа, действует
является ограниченным состоянием, таким, что волновая функция
обращается в нуль для
лежащих вне небольшой области, окружающей точку
Чтобы показать это, мы воспользуемся разложением векторного потенциала по модам плоских волн и учтем полноту состояний
Тогда
Если разброс волновой функции
около
в направлении к много меньше, чем длина волны
любой заполненной
-моды электромагнитного поля, то, очевидно, в хорошем приближении можно заменить под знаками интегралов множители
на
Следовательно,
а оператор координаты
в векторном потенциале можно заменить его средним значением и считать его константой. Такое упрощение, обычно, называется диполъным приближением. Оно имеет непосредственное применение, например, к изучению взаимодействия между светом и атомным электроном, так как размеры атома много меньше длины волны. В тех случаях, когда такая замена пригодна, гамильтониан можно записать в более простом виде
Наконец, для любых, за исключением лишь очень интенсивных, полей, можно пренебречь членом взаимодействия
по сравнению с членом
Чтобы пояснить это, отметим, что с-числовое отношение
может быть записано в приближенном виде
где
электрическое поле,
его частота и длина волны,
скорость электрона. В большинстве оптических взаимодействий кинетические энергии электронов имеют порядок в несколько электрон-вольт. Даже если мы работаем со светом, создаваемым лазером, мощность которого составляет
на
площади поперечного сечения и для которого
на характерной длине волны
то отношение
получается всего лишь порядка 0.02. Таким образом, видно, что членом взаимодействия
можно пренебречь для всех слабых и умеренно интенсивных световых пучков. Только при очень больших мощностях света, когда доминируют многофотонные взаимодействия, этот член становится важным. Учитывая это, мы в дальнейшем будем упрощать выражение для энергии взаимодействия и писать