12.8. Стационарность, однородность, изотропность

12.8.1. Стационарность

При обсуждении классических функций когерентности мы уже встречались с понятием стационарного поля. Вообще говоря, стационарным является поле, статистические свойства которого не изменяются во времени и это находит свое отражение в том, что ожидаемое значение любой функции или функционала полевых операторов инвариантно по отношению к смещению начала отсчета времени. Этот же критерий непосредственно применим и к квантованному полю, состояние которого описывается оператором плотности В картине Шредингера удовлетворяет уравнению движения

где представляет полную энергию поля. В картине Шредингера, для стационарности требуется, чтобы оператор плотности не изменялся во времени. В этом случае, ожидаемое значение любой динамической переменной остается независящим от времени. Тогда из (12.8.1) следует, что для стационарного поля

Но раз коммутатор обращается в нуль в картине Шредингера, то он обращается в нуль и в картине Гейзенберга, и в любом другом представлении тоже. Поэтому мы можем считать (12.8.2) определяющим условием стационарности поля.

Теперь является также генератором сдвига во времени. В общем случае из теоремы об операторном разложении мы получаем для любого оператора поля в картине Гейзенберга, что

Эта свойство представляет условие стационарности (12.8.2) в перспективе и оно иллюстрирует очень важный общий результат. Состояние поля является инвариантным по отношению к некоторой трансформации (в данном случае — сдвигу во времени), если оператор плотности коммутирует с генератором данной трансформации.

Рассмотрим в качестве примера корреляционную функцию порядка

Используя свойство операции сдвига во времени (12.8.3), можно выразить ее в виде

Здесь последняя строка получается из предыдущей путем перемещения оператора из конца в начало, что допустимо в силу инвариантности следа по отношению к циклической перестановке операторов. Если поле стационарно, то из (12.8.2) следует, что

таким образом,

Следовательно, как и ожидалось, корреляционные функции инвариантны по отношению к любому временному сдвигу Более того, полагая в мы получаем выражение для

из которого видно, что в тех случаях, когда поле стационарно, в действительности представляет собой функцию разностей различных временных параметров. Мы можем записать подобные и эквивалентные соотношения, выбирая или

Обратное утверждение также верно. Если (12.8.6) выполняется для всех значений и для любой корреляционной функции то поле должно быть стационарным. Чтобы показать это, вернемся к (12.8.4) и непосредственно применим теорему об операторном разложении (10.7.7). В этом случае мы имеем

Так как правая часть этого выражения представляет собой степенной ряд по она не будет зависеть от для произвольной корреляционной функции только тогда, когда коэффициент при равен нулю для если выполняется (12.8.2).

Так как каждый из множителей в определении будучи положительной и отрицательной частотной частью оператора поля, удовлетворяет волновому уравнению, то ясно, что сама удовлетворяет набору волновых уравнений для различных наборов пространственно-временных переменных.

где и обозначают векторные градиенты по координатам соответственно. Эти уравнения в определенном смысле означают, что сами корреляционные функции распространяются в пространстве подобно электромагнитному полю.